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wie Berechne ich die Position eines Schiffes?

Universität / Fachhochschule

Sonstiges

Tags: Erde, GPS, Kosinus, Schiffsposition, Sinus, Sonstiges, Vektor

tnsisco aktiv_icon

01:41 Uhr, 11.02.2010

Aufgabenstellung:

Gegeben:

- die erste Position meines Botes mit L&permil;ngengrad und Breitengrad,

- die Geschwindigkeit (in Knoten = Seemeilen / h),

- und die Richtung in Grad-Einheit als fester Kurs ist bekannt.

Gesucht:

- das Ziel (L&permil;ngengrad & Breitengrad) nach einer bestimmten Zeit.

ZIEL:

Formel f¸r die Berechnung des Ziels mit belibig ver&permil;nderbaren Variabeln.

__________________________________________________________

Mir ist bekannt, wie man die Entfernung zwischen 2 Positionen auf der Erdoberfl&permil;che berechnen kann.

6378.388 * acos(sin(lat1) * sin(lat2) + cos(lat1) * cos(lat2) * cos(lon2 - lon1))

lat = Breitengrad

lon = L&permil;ngengrad

FRAGE:

Wie bekomme ich nun in dieser Aufgabenstellung die Richtung mit der Geschwindigkeit, der Position und der Zeit in eine Formel, so dass ich sp&permil;ter 2 Werte (L&circ;ngen- & Breitengrad der neuen Position) erhalte ?????

HELFT MIR BITTE . . . . .

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige trigonometrische Werte
Additionstheoreme
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie
Kosinus (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinussatz (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Parallelverschiebung
Rechnen mit Vektoren - Einführung
Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten
Sinus und Kosinus für beliebige Winkel
Skalarprodukt

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

hagman aktiv_icon

08:33 Uhr, 11.02.2010

1. Die Geschwindigkeit ist nicht in Knoten pro Stunde sondern einfach Knoten gegeben (=Seemeilen proStunde, eine Seemeile entspricht sehr genau

\frac{1}{60}

Breitengrad)

2. Fährt das Schiff entlang einem Großkreis ("geradeaus") oder mit festem Kurs?

tnsisco aktiv_icon

08:41 Uhr, 11.02.2010

Das Schiff fährt einen festen Kurs, z.B. 0° (Nord) oder 45° (NordOst).

Danke für die Korrektur der Geschwindigkeit...

hagman aktiv_icon

12:48 Uhr, 11.02.2010

OK, bei festem Kurs ist nämlich die Entfernung von Anfangs- zu Endpunkt *nicht* dasselbe wie Geschwindigkeit mal Zeit (zumindest für hinreichend lange Törns in "ungünstige" Richtungen, etwa Ost/West-Kurs in Polnähe).

Bei

v

Knoten Fahrt Richtung Nord (0°) wächst die Breite um

v

Bogenminuten pro Stunde, Richtung Süd (180°) schrumpft sie mit demselben Tempo. Allgemein:
Sei

φ_{0}

die nördliche Breite am Anfang,

φ_{1}

die am Ziel,

α

der Kurs,

v

die Geschwindigkeit in Knoten,

t

die Fahrzeit in Stunden. Dann

φ_{1} = φ_{0} + sin (α) \cdot v \cdot t \cdot c,

wobei

c

einfach der Umrechnungsfaktor von Seemeilen in die benutzten Winkeleinheiten ist, also

c = \frac{1}{60}

° oder

c = 1'

oder

c = \frac{π}{180 \cdot 60}

.
Für die Längen

λ_{0}, λ_{1}

gilt im Prinzip etwas Ähnliches, jedoch sind die Meridiane ja "zusammengestaucht":

λ_{1} = λ_{0} + \frac{cos (α)}{cos (φ_{0})} \cdot v \cdot t \cdot c

Achtung! Dies ist nur eine Näherung, die nur gilt, wenn

φ

sich während der Fahrt nicht wesentlich verändert, denn statt durch

cos (φ_{0})

müsste genau genommen zu jedem Zeitpunkt durch den

cos

der jeweils dann vorliegenden Breite geteilt werden.
Eine etwas bessere Näherung wäre also

λ_{1} = λ_{0} + \frac{cos (α)}{2} \cdot (\frac{1}{cos (φ_{0})} + \frac{1}{cos (φ_{1})}) \cdot v \cdot t \cdot c

und gasnz richtig

λ_{1} = λ_{0} + cos (α) \cdot c \cdot v \cdot \int_{0}^{t} \frac{d τ}{cos (φ (τ))} = λ_{0} + cos (α) \cdot c \cdot v \cdot \int_{0}^{t} \frac{d τ}{cos (φ_{0} + sin (α) \cdot v \cdot τ \cdot c)}

.
Sinnvollerweise zerlegst längere Fahrten in mehrere hinreichend kleine Abschnitte, so dass pro Abschnitt der Fehler nicht auffällt.

Andere Genauigkeitsprobleme (Erdabplattung, Abhängigkeit vom verwendeten geografischen Datum usw.) lassen wir natürlich gleich gänzlich außer Acht :-)

tnsisco aktiv_icon

12:54 Uhr, 11.02.2010

Danke für die ausführliche Antwort ...

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