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Additionstheorem gesucht - Sinus & Kosinus

Universität / Fachhochschule

Sonstiges

Tags: Additionstheorem, Kosinus, Kräfteberechnung, Sinus, Winkel

Arnoldinio aktiv_icon

10:41 Uhr, 22.06.2010

Hallo

Ich muss mich auf eine Klausur im Bereich "Technische Mechanik" vorbereiten und komm bei einer Aufgabe (siehe Anhang) nicht weiter. Daher hoffe ich nun auf eure Hilfe.

---> also der Ansatz ist mir klar:

$F_{R} = F_{1} \cdot \cos (α_{1}) + F_{2} \cdot \cos (α_{2})$

$F_{1} \cdot \sin (α_{1}) = F_{2} \cdot \sin (α_{2})$

...jetzt müsst ich theoretisch nur nach einer Kraft umstellen und in die andere Beziehung einsetzen, aber ich finde keine Möglichkeit, die Winkel auszurechnen/zusammenzufassen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige trigonometrische Werte
Additionstheoreme
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie
Kosinus (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinussatz (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Sinus und Kosinus für beliebige Winkel
Winkel - Einführung
Winkelberechnungen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

MBler07 aktiv_icon

10:51 Uhr, 22.06.2010

Hi

So eine Aufgabe musste ich auch schon bearbeiten...
Wenn ich mich richtig erinnere haben wir das nicht mehr aufgelöst (entweder weils zu aufwendig war oder nicht ging). Davon abgesehen ist das Ergebnis (laut Dozent) eh nur von untergeordneter Bedeutung. Dafür hat man schließlich Computer. Das aufstelllen der Gleichungen ist die Schwierigkeit.

Andernseits hast du doch einen Winkel gegeben. Dann lässt sich das sehr einfach auflösen:

(a)

F_{1} \cdot sin (a_{1}) = F_{2} \cdot sin (a_{2})

sin (a_{1}) = \frac{F_{2}}{F_{1}} \cdot sin (a_{2})

a_{1} = a r c sin (\frac{F_{2}}{F_{1}} \cdot sin (a_{2}))

Warum löst du das nicht einfach mit einer Zeichnung?

Grüße

Arnoldinio aktiv_icon

11:26 Uhr, 22.06.2010

naja... nich ganz. Wir sollen alle Aufgaben rechnerisch lösen und gegeben ist hierbei:

$F_{2} = 4000 N F_{R} = 5000 N α_{1} = 30 °$

Ich hab also die Kraft zum gesuchten Winkel $α_{2}$ und den Winkel zur gesuchten Kraft $F_{1}$ . Einzige Verbindung ist die Kraft $F_{R}$

Das Gleichungssystem ist auf jeden Fall eindeutig und es müsste eine numerische Lösung geben, oder?

MBler07 aktiv_icon

12:17 Uhr, 22.06.2010

Sag das nächste mal doch bitte direkt, dass du bei der

b)

Probleme hast und nicht bei allen.

Du musst die Gleichungen halt zusammenführen:

F_{1} = F_{2} \cdot \frac{sin (a_{2})}{sin (a_{1})}

\to F_{R} = F_{2} \cdot \frac{sin (a_{2})}{sin (a_{1})} \cdot cos (a_{1}) + F_{2} \cdot cos (a_{2})

\frac{F_{r}}{F_{2}} = cot (a_{1}) \cdot sin (a_{2}) + \sqrt{1 - {sin}^{2} (a_{2})}

weil

{sin}^{2} + {cos}^{2} = 1 \to {cos}^{2} = 1 - {sin}^{2} \to cos = \sqrt{1 - {sin}^{2}}

\frac{F_{R}}{F_{2}} - cot (a_{1}) \cdot sin (a_{2}) = \sqrt{1 - {sin}^{2} (a_{2})}

Das ganze quadrieren, alles auf eine Seite bringen und die quadratische Gleichung lösen.

Eine numerische Lösung ist natürlich immer möglich. Mit der sind wir dann halt beim Computer.

magix aktiv_icon

12:32 Uhr, 22.06.2010

scheint so, das es die gibt, ja.

Wenn ich mich nicht schon total verrechnet habe Kann man das so umformen:

I:

5000 = F_{1} \cdot \frac{1}{2} \sqrt{3} + 4000 \cdot cos (α_{2})

II:

F_{1} \cdot \frac{1}{2} = 4000 \cdot sin (α_{2})

F_{1} = 8000 \cdot sin (α_{2})

in I:

5000 = 8000 \cdot \frac{1}{2} \sqrt{3} \cdot sin (α_{2}) + 4000 \cdot cos (α_{2})

5000 = 4000 \sqrt{3} \cdot sin (α_{2}) + 4000 \cdot cos (α_{2}) | : 1000

5 = 4 \sqrt{3} \cdot sin (α_{2}) + 4 \cdot cos (α_{2}) | : 4

\frac{5}{4} = \sqrt{3} \cdot sin (α_{2}) + cos (α_{2})

Dann verwende ich

sin (α_{2}) = \sqrt{1 - {cos}^{2} (α_{2})}

\frac{5}{4} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{1 - {cos}^{2} (α_{2})} + cos (α_{2}) | - cos (α_{2})

\frac{5}{4} - cos (α_{2}) = \sqrt{3} \cdot \sqrt{1 - {cos}^{2} (α_{2})} | : \sqrt{3}

\frac{5}{4 \cdot \sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot cos (α_{2}) = \sqrt{1 - {cos}^{2} (α_{2})} |^{2}

\frac{25}{48} - 2 \cdot \frac{5}{4 \cdot 3} \cdot cos (α_{2}) + \frac{1}{3} {cos}^{2} (α_{2}) = 1 - {cos}^{2} (α_{2})

Jetzt alles auf eine Seite bringen,

cos (α_{2})

durch

x

substituieren und die quadratische Gleichung lösen. Dann Probe machen, welche der beiden Lösungen zulässig ist und endgültig nach

α_{2}

auflösen.

Gruß Magix

Arnoldinio aktiv_icon

14:36 Uhr, 22.06.2010

Ops, sorry! Hätt ich mal echt dazuschreiben können, dass es um Aufgabenteil b) ging. ...ich gelobe Besserung! :D

...jedenfalls habt ihr genau die Lösung gefunden, nach der ich gesucht hatte. Vielen Dank... ich rechne dann mal weiter... ...bis die nächste Frage kommt! B)

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