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Beweisen das Funktion 2 Nullstellen besitzt

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Beweis, Funktion, Nullstellen

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schnecke123

schnecke123 aktiv_icon

20:45 Uhr, 26.10.2009

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Guten Abend,
ich sitze nun scheit seit ca.

30 min

. an dieser Aufgabe aber komme einfach nicht richtig weiter.
Es ist folgende Funktion gegeben:
fa

(x) =

-x^2+2ax-0,75a^2-0,5a+1,25

Null soll ich beweisen, ob die Funktion immer 2 Nullstellen besitzt, wenn für a verschiedene Werte eingesetzt werden.
a soll ein Element aus den reellen Zahlen sein. a el

ℝ

Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff)
Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten
Allgemeine Sinusfunktion
Einführung Funktionen
Nullstellen
Nullstellen bestimmen

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Einführung Funktionen
Nullstellen
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Shipwater

Shipwater aktiv_icon

20:48 Uhr, 26.10.2009

Antworten

- x^{2} + 2 a x - 0,75 a^{2} - 0,5 a + 1,25 = 0

x^{2} - 2 a x + 0,75 a^{2} + 0,5 a - 1,25 = 0

PQ-Formel:

x_{1,2} = a \pm \sqrt{a^{2} - 0,75 a^{2} - 0,5 a + 1,25}

Wenn der Klammerinhalt für ein

a \in ℝ

negativ oder 0 werden kann hat die Funktion nicht immer 2 Nullstellen, wenn sie aber für egal welches

a \in ℝ

positiv ist, hat sie auch stets 2 Nullstellen.

Hilft dir das weiter?

Shipwater

schnecke123

schnecke123 aktiv_icon

21:03 Uhr, 26.10.2009

Antworten

Danke erstmal für deine Mühe.
ich denke schon.
meinst du mit Klammerinhalt den inhalt der Wurzel?

Antwort

queen

21:06 Uhr, 26.10.2009

Antworten

-x^2+2ax-0,75a^2-0,5a+1,25=0
x^2-2ax+0,75a^2+0,5a+1,25=0
Diskriminate:

D = {(- 2 a)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (0,75 a^{2} + 0,5 a - 1,25) = a^{2} - 2 a + 5 = a^{2} - 2 a + 1 + 4 = {(a - 1)}^{2} + 4 \geq 4 > 0

Die Diskriminatne ist damit für alle a aus

R

größer 0. Damit existieren immer zwei Lösungen für

x

.
Die Lösungsformel für ein Polynom 2ten Grades (Quadratische Gleichung):

\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 \cdot a \cdot c}}{2 a}

D = b^{2} - 4 \cdot a \cdot c D

ist die Diskriminante, die relevante Entscheidungsgröße. (discriminare (lat.) = unterscheiden). Falls

D > 0

gibt es zwei LÖsungen für

x,

falls

D = 0

nur eine (Doppel-)Lösung und falls

D < 0

keine Lösung in

ℝ

Ich hoffe, nun ist es verständlicher

schnecke123

schnecke123 aktiv_icon

21:12 Uhr, 26.10.2009

Antworten

Deine Rechnung kann ich leider nicht ganz nahcvollziehen, da ich keine Ahnung habe was Diskriminate sind .
Trotzdem danke

Antwort

Shipwater

Shipwater aktiv_icon

21:14 Uhr, 26.10.2009

Antworten

Den Wurzelinhalt/Wurzelbasis/Radikand der PQ-Formel nennt man auch Diskriminante der PQ-Formel. Also das

\frac{p^{2}}{4} - q

Oben meinte ich auch Wurzelinhalt anstatt Klammerinhalt, entschuldige.

Gruß Shipwater

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