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Cosinus Summe. Kennt jemand diesen Satz?

Universität / Fachhochschule

Tags: Cosinus, Cosinusfunktion, Sinus, Sinusfunktion, Trigonometrie

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17:05 Uhr, 10.06.2021

Hallo!
Bei uns in der Vorlesung kam in der Herleitung zur diskreten Fourier Transformation folgende (im Anhang) Gleichung vor. Dass sie stimmt konnte ich mittlerweile via Python nachvollziehen. Aber irgendwie interessiert es mich dennoch, ob mir das jemand ohne rumexperimentieren, also rechnerisch beweisen kann.

Ist das irgendein Satz

o

.ä., von dem ich noch nie etwas gehört habe? Kann man den herleiten?

Danke und LG

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige trigonometrische Werte
Additionstheoreme
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie
Allgemeine Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinus (Mathematischer Grundbegriff)
Tangens (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Sinus und Kosinus für beliebige Winkel
Sinus- und Kosinusfunktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

DrBoogie aktiv_icon

17:59 Uhr, 10.06.2021

Es hat damit zu tun:
en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet_kernel

N8eule

18:08 Uhr, 10.06.2021

Der Fall

n = m

ist ja schnell verständlich und abgehandelt.
Für

(n = m)

ist

(n - m) = 0

also reduziert sich der Ausdruck zu

\sum cos (0) = \sum 1 = N

Ferner mag ich ahnen, dass

n

und

m

ganze Zahlen sein müssen.
Sonst wird die Gleichung kaum stimmen...

HAL9000

09:12 Uhr, 11.06.2021

Man kann das ganze als Realteil der komplexen Summe

S = \sum_{k = 0}^{N - 1} \exp (i \frac{2 π}{N} (n - m) k) = \sum_{k = 0}^{N - 1} q^{k}

mit

q := \exp (i \frac{2 π}{N} (n - m))

ansehen. Im Fall

q \neq 1

ergibt sich für diese Geometrische Summe

S = \frac{q^{N} - 1}{q - 1} = 0

,

während für

q = 1

stattdessen

S = N

herauskommt. Nun gilt

q = 1 \Leftrightarrow n - m \equiv 0 mod N

ptchf aktiv_icon

10:35 Uhr, 11.06.2021

Okay wow, das ist ja mal absolut genial... man hält sich immer für recht talentiert in Mathe und dann kommt jemand vorbei, der sich sowas aus den Ärmeln schüttelt. Danke!! Hat mir mal wieder vor Augen geführt, wie schön Mathe sein kann
LG

DrBoogie aktiv_icon

10:55 Uhr, 11.06.2021

"Okay wow, das ist ja mal absolut genial... man hält sich immer für recht talentiert in Mathe und dann kommt jemand vorbei, der sich sowas aus den Ärmeln schüttelt."

Ich will HAL's Talent nicht abstreiten, aber das ist einfach ein alter Hut, die Idee ist den meisten erfahrenen Mathematikern bekannt.
In Mathematik gibt's in Wirklichkeit gar nicht so viele originelle Ideen, und nach paar Jahrzehnten kennt man normalerweise fast alle.

HAL9000

11:00 Uhr, 11.06.2021

Ja, so ist es. Aber natürlich darf man trotzdem drüber staunen, wenn man das zum ersten mal sieht. :-)

ptchf aktiv_icon

15:09 Uhr, 11.06.2021

Dann beneide ich euch einfach mal für euer mathematisches Grundwissen ;-)
Hätte eigentlich auch gerne Mathe studiert, aber man hat ja leider nicht Zeit für alle Karrierewege, die einen interessieren... Aber ja, staunen kann ich ja trotzdem

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