Herleitung der Volumenformel zum Kugelsegment

Hallo ,

ich brauche die Herleitung zur Volumenformel von Kugelsegmenten mit Hilfe eines Integrals.

So weit bin ich schon , aber der Rest will einfach nicht :

V=${\displaystyle \mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}{\int }_{\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}(\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\mathrm{x²<mspace\; width="0.12em"></mspace>})\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

= ${\displaystyle \mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}[\mathrm{r²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-1/3\mathrm{x³<mspace\; width="0.12em"></mspace>}]}$ zwischen r-a und r

wennich das jetzt einsetze bekomme ich

= ${\displaystyle \mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left[\right(\mathrm{r²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-1/3\mathrm{r³<mspace\; width="0.12em"></mspace>})-(\mathrm{r²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>})-1/3(\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>})\mathrm{³<mspace\; width="0.12em"></mspace>}]}$

so und der nächste Schritt ist dann

=${\displaystyle \mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}[2/3\mathrm{r³<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\mathrm{r³<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{r²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-1/3\mathrm{r²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\mathrm{r²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{a²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-1/3\mathrm{a³<mspace\; width="0.12em"></mspace>}]}$

ich weiß das zum Schluss V= ${\displaystyle \mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{a²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}/3(3\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}$

aber wie sind die Schritte dazwischen ?

Kann mir jemand helfen ?

in deiner gleichungskette am Schluss muss es statt -1/3r^2 heißen +1/3r^3.

Ich möchte dir noch raten, minus-Klammern sukzessive von innen nach außen sorgfältigst

aufzulösen; ich habe nämlich den Eindruck gehabt, das deine Vor- bzw. Rechenzeichen

zufällig richtig geraten sind, als du mehrere ineinander geschachtelte minus-Klammern

entfernt hast.