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Hoch- Tief- und Wendepunkte der Sinusfunktion

Schüler Berufliches Gymnasium,

Tags: Hochpunkte, Kosinus, Sinus, Tiefpunkte, Wendepunkte

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16:15 Uhr, 14.12.2012

Hallo liebe Forennutzer,

konnte folgende Aufgaben nicht lösen( Berechnung der Hoch-Tief und Wendepunkte):

1) f(x)=2cos (pix)+1 soll von der gegebenen Funktion die Hoch-Tief und Wendepunke berechnen und komme nicht weiter.

Bed: f`(x)= 0 Extrempunkt
f``(x)=0 Wendepunkt

Als Lösung ist angegeben H1(0/3) H2(2/3) T(1/-1) W1(0,5/1) W2(1,5/1)

Mein Ansatz: f´(x)= -2pi sin(pix)+1

2) Die 2. Funktion bei der ich nicht weiter komme lautet:
f(x)= -3/2 sin (3/2x)+1/2 im Intervall -3;4.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kosinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige trigonometrische Werte
Kosinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinussatz (Mathematischer Grundbegriff)
Additionstheoreme
Rechenregeln Trigonometrie
Wendepunkte (Mathematischer Grundbegriff)
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Allgemeine Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Sinus und Kosinus für beliebige Winkel

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Matheboss aktiv_icon

16:23 Uhr, 14.12.2012

Beim Ableiten werden additive Konstanten

= 0

f' (x) = - 2 \cdot π \cdot sin (π \cdot x)

f' (x) = 0

ist notwendige Bedingung für Extremwert.

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16:31 Uhr, 14.12.2012

Hallo Matheboss,
vielen dank für deine Antwort, hab es aber nicht verstanden .
Kannst du es mir bitte näher erleutern. Schwierigkeiten bereiten mir nur trigomometrische Funktionen von der e-Funktion und der quadratischen Funktion kann ich es lösen.

Matheboss aktiv_icon

16:36 Uhr, 14.12.2012

Bei der Ableitung wird aus der "Konstante 1" eben Null.
Deshalb fällt diese weg.
Der erste Term der Ableitung war ja richtig.

Wir setzen jetzt

f' (x) = 0

Also

- 2 \cdot π \cdot sin (π \cdot x) = 0,

- 2 \cdot π \neq 0

kann nur

sin (π \cdot x) = 0

werden.

Also, wann wird dieser Term=0?
(Übrigens, wegen der angegebenen Lösungen, muss der Definitionsbereich beschränkt sein)

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16:43 Uhr, 14.12.2012

Der Definitionbereich liegt bei -0,5;2,5

Muss ich jetzt in der Formelsammlung nachschauen wo Sin=0 ist?

Das wäre ja dann bei 0 der Fall ?

Matheboss aktiv_icon

16:49 Uhr, 14.12.2012

sin (0) = 0

sin (π) = 0

sin (2 \cdot π) = 0

sin (- π) = 0 ... ...

sin (k \cdot π) = 0

für

k \in ℤ

x_{1} = 0

x_{2} = 1

x_{3} = 2

Die Bedingung

f' (x) = 0

ist "notwendig", gibt aber nur an, dass ich hier Punkte mit waagerechter Tangente habe, deshalb brauche ich eine "hinreichende Bedingung".

Deshalb

Hochpunkt

f' (x) = 0 \land f'' (x) < 0

Tiefpunkt

f' (x) = 0 \land f'' (x) > 0

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16:59 Uhr, 14.12.2012

Das mit der hinreichenden und notwendigen Bedingung verstehe ich schon, was ich leider nicht verstanden habe ist wie man auf die x-werte kommt.

Könntest du mir den Schritt ausführlich schreiben?

Diese x-Werte muss ich danach in die 2.Ableitung einsetzen damit ich weis ob an dieser Stelle ein hoch oder tiefpunkt vorliegt. falls f´´(x)>0 ist liegt ein Tiefpunkt vor und falls f´´(x)<0 ist liegt ein Hochpunkt vor.

Matheboss aktiv_icon

17:05 Uhr, 14.12.2012

Du solltest Dir die Sinusfunktion einmal genau anschauen, oder Formelsammlung.

Dann findest Du die Nullstellen, wie von mir beschrieben

sin (k \cdot π) = 0,

wenn

k \in ℤ

Da der Definitionbereich beschränkt ist, gilt nur

k = 0; 1; 2

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17:21 Uhr, 14.12.2012

Habe die Nullstellen von der Sinusfunktion angeschaut.

bei pi = 0
2 pi = 0
- pi = 0

aber wie kommst du auf x1=0
x2=2
x3=1

ich komme ehrlich gesagt nicht auf x1, x2, und x3.

Vielen dank für deine Mühe :-)

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17:25 Uhr, 14.12.2012

Welche Zahl setze ich für k ein ?

Matheboss aktiv_icon

17:26 Uhr, 14.12.2012

k

sind die "Ganzen Zahlen", also

{... - 3; - 2; - 1; 0; 1; 2 ... . .}

Du hast doch

sin (π \cdot x) = 0,

in der Klammer stehen doch x-Vielfache von

π,

nicht

π

alleine.

x_{1} = 0

sin (π \cdot 0) = sin (0) = 0

x_{2} = 1

sin (π \cdot 1) = sin (π) = 0

x_{3} = 2

sin (π \cdot 2) = sin (2 \cdot π) = 0

und jetzt in die 2.Ableitung einsetzen.

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17:33 Uhr, 14.12.2012

Wird k beliebig eingesetzt?

Matheboss aktiv_icon

17:44 Uhr, 14.12.2012

Hier kannst Du nur die "k" (bei Dir x)nehmen, so dass

x \in [- 0,5; 2,5]

liegt wegen der Einschränkung des Definitionsbereichs.
Deshalb nur

x = 0; 1; 2

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17:51 Uhr, 14.12.2012

Ach so jetzt habe ich es verstanden!

Muss also im ersten Schritt schauen wo die Nullstllen liegen, und im nächsten Schritt k=in der Intervallgrenze beachten! cool danke

könnten wir die Aufgabe eventuell zusammen zu ende rechnen?

Matheboss aktiv_icon

17:52 Uhr, 14.12.2012

Dann mach mal schnell, ich bin in einer halben Stunde leider weg.

Sunflower1 aktiv_icon

18:05 Uhr, 14.12.2012