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Integralrechnung: Herleitung 1/quad. polynom

Schüler Fachschulen, 12. Klassenstufe

Tags: arctan, Formel, Herleitung, Integral

clemens95 aktiv_icon

11:09 Uhr, 13.02.2013

Hallo,

ich habe eine Frage bezüglich der Integralrechnung und zwar geht es um den arctan.

Wir haben in der Schule gelernt dass ich aus der Form (immer das Integral davon):

1/(ax²

+

+ c) d x =

dem arctan(?)

+ c

ist. Dabei ist △

< 0

Nun ist es meine Aufgabe die Herleitung dieser Form zu finden und leider finde ich dazu nichts im Internet!

ftp://ftpmirror.your.org/pub/wikimedia/images/wikiversity/de/archive/d/d3/20120203121917!Mathematik_f%C3%BCr_Anwender_(Osnabr%C3%BCck_2011-2012)Teil_IVorlesung26.pdf

Einzig hier habe ich etwas gefunden, nur geht dies zu "weit", denn hier wird das quadratische polynom

^n

genommen und dies ist für mich nicht nötig!

Nun hoffe ich, dass mir hier jemand weiterhelfen kann.

Zusammengefasst nochtmals:

Herleitung für:

Integral von 1/(ax^2

+

+ c) d x = ... . .

. = arctang(?)

+ c

(wobei △

< 0)

DAnke schon mal vorab,

Grüße Clemens

PS: Gehe in Italien zur Schule, also sind meine Informationen bzgl. Schule frei erfunden...

Edit: Im oben angeführte PDF-File auf Seite 2 bei Lemma

26.1

ist genau dies, was ich brauche... nur fehlt eben die Herleitung davon... (immer nur für △

< 0)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Mitternachtsformel
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Berechnung eines Flächenstücks

Wie bestimmt man eine Fläche mit dem Integral?

Wie bestimmt man die Fläche zwischen dem Graphen einer Funktion, der x-Achse und zwei Grenzen a und b?

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Wie kann man die Kreiszahl

π

herleiten?

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Wie integriert man mithilfe der Substitution?

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Wie bestimmt man die Nullstellen von Polynomfunktionen?

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Wie bestimmt man eine Stammfunktion einer Exponentialfunktion?

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Wie bestimmt man eine Stammfunktion einer ganzrationalen Funktion?
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Wie löst man eine quadratische Gleichung?

Wie löst man eine quadratische Gleichung?

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Wo schneidet eine Parabel die x-Achse?

DerDepp aktiv_icon

15:17 Uhr, 13.02.2013

Hossa ;-)

Da vorgegeben ist, was rauskommen soll, kannst du hier rückwärts vorgehen. Dazu bestimmst du zunächst die Ableitung von

\arctan (x)

. Sei also:

y = \arctan (x) \Leftrightarrow x = \tan (y)

\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{d x}{d y}} = \frac{1}{\frac{d}{d y} \tan (y)} = \frac{1}{\frac{d}{d y} (\frac{\sin (y)}{\cos (y)})} = \frac{1}{\frac{\cos (y) \cos (y) + \sin (y) \sin (y)}{\cos^{2} (y)}} = \frac{1}{1 + \tan^{2} (y)} = \frac{1}{1 + \tan^{2} (\arctan (x))} = \frac{1}{1 + x^{2}}

Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ist die Ableitung die Umkehrung von Integrieren und du hast soeben gezeigt:

\int \frac{1}{1 + x^{2}} d x = \arctan (x) + C

Nun musst du nur noch das gesuchte Integral geschickt substituieren:

a x^{2} + b x + c = a (x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a}) = a (x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{b^{2}}{4 a^{2}} - \frac{b^{2}}{4 a^{2}} + \frac{4 a c}{4 a^{2}}) = a [{(x + \frac{b}{2 a})}^{2} + \frac{4 a c - b^{2}}{4 a^{2}}]

\Rightarrow a x^{2} + b x + c = \frac{4 a c - b^{2}}{4 a} {[1 + \frac{4 a^{2}}{4 a c - b^{2}} (x + \frac{b}{2 a})}^{2}]

\Rightarrow \frac{1}{a x^{2} + b x + c} d x = \frac{4 a}{4 a c - b^{2}} \frac{1}{1 + \frac{4 a^{2}}{4 a c - b^{2}} {(x + \frac{b}{2 a})}^{2}} d x

Wir substituieren:

u := \frac{2 a}{\sqrt{4 a c - b^{2}}} (x + \frac{b}{2 a}) \Rightarrow \frac{d u}{d x} = u ʹ (x) = \frac{2 a}{\sqrt{4 a c - b^{2}}} \Rightarrow d x = \frac{\sqrt{4 a c - b^{2}}}{2 a} d u

\Rightarrow \frac{1}{a x^{2} + b x + c} d x = \frac{4 a}{4 a c - b^{2}} \frac{1}{1 + u^{2}} \frac{\sqrt{4 a c - b^{2}}}{2 a} d u = \frac{2}{\sqrt{4 a c - b^{2}}} \frac{1}{1 + u^{2}} d u

Damit sind wir fertig:

\int \frac{1}{a x^{2} + b x + c} d x = \frac{2}{\sqrt{4 a c - b^{2}}} \int \frac{1}{1 + u^{2}} d u = \frac{2}{\sqrt{4 a c - b^{2}}} (\arctan (u) + \tilde{c}) = \frac{2}{\sqrt{4 a c - b^{2}}} \arctan (\frac{2 a}{\sqrt{4 a c - b^{2}}} (x + \frac{b}{2 a})) + C

\int \frac{1}{a x^{2} + b x + c} d x = \frac{2}{\sqrt{4 a c - b^{2}}} \arctan (\frac{2 a x + b}{\sqrt{4 a c - b^{2}}}) + C

Ok?

Shipwater aktiv_icon

16:08 Uhr, 13.02.2013

Zwar ein wenig schwer zu finden, aber gab es schonmal hier:
http//www.onlinemathe.de/forum/Stammfunktion-einer-Funktion-bestimmen

clemens95 aktiv_icon

16:39 Uhr, 13.02.2013

Hallo DerDepp ;-)

Danke für deine sehr gute und ausführliche Antwort!!! :-))

Habe mir das nun alles genauestens angeschaut, nun hab ich noch ein paar Fragen:

1. ist mir das hier dein Zwischenschritt nicht ganz klar..

a (x^{2} + (\frac{b}{a}) x + \frac{c}{a}) = a (x^{2} + (\frac{b}{a}) x + \frac{b^{2}}{4 a^{2}} - \frac{b^{2}}{4 a^{2}} + \frac{4 a \cdot c}{4 a^{2}})

2. Dann in der nächsten Zeile, versteh ich auch nicht ganz wie du da hin kommst. Soweit ich das richtig sehe, hebst du das hier aus den Klammer heruas:

\frac{4 a^{2}}{4 a \cdot c - b^{2}}

warum dann aber das vor der Klammer steht ist mir nicht ganz klar...

\frac{4 a \cdot c - b^{2}}{4 a}

3. Bei der Substitution ist mir nicht klar wie du vom ersten auf das zweite kommst..

4. Bei der Substitution bei der zweiten Zeile, wie kommst du da auf das letze Ergebnis?

Danke schon mal für die Große Hilfe!

Grüße

DerDepp aktiv_icon

12:27 Uhr, 14.02.2013

Aloah nochmal :-)

zu 1)

a (x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a})

Ich addiere eine "Null":

\frac{b^{2}}{4 a^{2}} - \frac{b^{2}}{4 a^{2}}

und erweitere den Bruch

\frac{c}{a}

mit

4 a

\frac{c}{a}

= a (x^{2} + \frac{b}{a} x + \underset{= 0}{\underset{⎵}{\frac{b^{2}}{4 a^{2}} - \frac{b^{2}}{4 a^{2}}}} + \underset{= c / a}{\underset{⎵}{\frac{4 a c}{4 a^{2}}}})

Dann klammere ich in Gedanken den Audruck um:

= a [(x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{b^{2}}{4 a^{2}}) + (\frac{4 a c}{4 a^{2}} - \frac{b^{2}}{4 a^{2}})]

und vereinfache die beiden Klammern:

= a [{(x + \frac{b}{2 a})}^{2} + \frac{4 a c - b^{2}}{4 a^{2}}]

zu 2)

Ich "brauche" einen Ausdruck ähnlich zu "1+x²". Die "1" bekomme ich, indem ich den Term

\frac{4 a c - b^{2}}{4 a^{2}}

ausklammere:

= a [\underset{= 1}{\underset{⎵}{\frac{4 a c - b^{2}}{4 a^{2}} \cdot \frac{4 a^{2}}{4 a c - b^{2}}}} {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} + \frac{4 a c - b^{2}}{4 a^{2}} \cdot 1]

= a \cdot \frac{4 a c - b^{2}}{4 a^{2}} \cdot [\frac{4 a^{2}}{4 a c - b^{2}} {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} + 1]

= \frac{4 a c - b^{2}}{4 a} \cdot [\frac{4 a^{2}}{4 a c - b^{2}} {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} + 1]

= \frac{4 a c - b^{2}}{4 a} \cdot [1 + \frac{4 a^{2}}{4 a c - b^{2}} {(x + \frac{b}{2 a})}^{2}]

zu 3)

Bei der Substitution definiere ich in der ersten Zeile, was u sein soll. u=u(x) ist dann eine Funktion von x. Ich leite u nach x ab, um den Differentialquotienten

\frac{d u}{d x}

zu erhalten. Da im ursprünglichen Integral x als Variable steht und daher dx als Differential, muss ich, wenn ich u verwenden möchte, das Differential dx durch du ersetzen. Also stelle ich den Ausdruck

\frac{d u}{d x} = \dots

nach dx um, damit ich es durch du ersetzen kann.

zu 4)

Hier habe ich den Integranden mit Hilfe des neu definierten u umgebaut. Zusätzlich habe ich den zuvor gewonnen Ausdruck für dx eingesetzt, so dass im Ergebnis die Variable x nicht mehr vorkommt und ich nach du integrieren kann.

Nach der Integration habe ich dann wieder u durch x ersetzt.

Ok?

clemens95 aktiv_icon

13:01 Uhr, 14.02.2013

@DerDepp: Vielen, vielen Dank! Nun ist mir alles Glasklar!

: D

Grüße,

Clemens

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