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Lineare Funktion soll Parabel tangieren

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Gerade, Parabel, Schnittpunkt, tangieren

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siinnd

siinnd aktiv_icon

16:39 Uhr, 05.09.2019

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Hallo Mathe Forum,
Ich zerbreche mir jetzt schon mehrere Tage den Kopf über einer Aufgabenstellung.

Die Steigung

m

der Funktion

G (x) = m \cdot x + 1

soll berechnet werden, sodass sie die Parabel mit der Funktion

f (x) = {(x - 1)}^{2} + 2

tangiert.
Wir hatten in der Stunde eine ungefähr gleiche Aufgabe, in der das

b

in der Linearen Funktion

\frac{1}{2} \cdot x + b

brechnet werden sollte, bei gleicher Parabel. Hier habe ich die beiden Formeln gleichgesetzt und nachdem ich sie vereinfacht habe, die Gleichung Quadratisch Ergänzt, die 2.Binomische Formel angewendet und dann die Wurzel gezogen, sodass ich durch die Diskriminante

b

bestimmen konnte. Diese Aufgabe habe ich verstanden jedoch komme ich bei der anderen nicht weiter.

Vielen Dank im Voraus

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Schnittpunkte bestimmen
Quadratische Funktionen (Mathematischer Grundbegriff)
Parabel (Mathematischer Grundbegriff)
Quadratische Ergänzung
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

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Antwort

supporter

supporter aktiv_icon

17:12 Uhr, 05.09.2019

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Für die Berührstelle gilt;

f (x) = G (x)

f' (x) = G' (x)

Antwort

NeverGiveUp5

NeverGiveUp5 aktiv_icon

17:24 Uhr, 05.09.2019

Antworten

Dein Lösungsansatz ist nicht falsch.
Du musst ihn nur umsetzen :-).

1) f (x) = g (x)

\to m \cdot x + 1 = {(x - 1)}^{2} + 2

Umformen zu

0 = x^{2} - 2 \cdot x - m \cdot x + 2

bzw.

0 = x^{2} - x (2 + m) + 2

Quadr. Lösungsformel anwenden (Da Tangente soll es nur 1 Lösung geben):

x = \frac{2 + m}{2} \pm \sqrt{\frac{{(2 + m)}^{2}}{4} - 2}

Da es nur eine Lösung geben soll, muss die Diskriminante 0 sein.
Somit folgt nach Zusammenfassung und Ausmultiplizieren:

m^{2} + 4 m - 4 = 0

Erneut Quadr. Lösungsformel führt zu Ergebnissen

m 1 = - 2 + \sqrt{8}

m 2 = - 2 - \sqrt{8}

Habe hier mal Infinitesimalrechnung weggelassen, da ich nicht glaube, dass ihr die schon behandelt habt.

Graph

Frage beantwortet

siinnd

siinnd aktiv_icon

17:32 Uhr, 05.09.2019

Antworten

Vielen dank, manchmal hat man einfach ein Brett vor dem Kopf :-)

Antwort

Atlantik

Atlantik aktiv_icon

08:07 Uhr, 12.09.2019

Antworten

Alternative:

p (x) = {(x - 1)}^{2} + 2

Berührpunktebestimmung der Tangenten an p(x)durch

P (0 | 1) :

p

´

(x) = 2 \cdot (x - 1)

\frac{y - 1}{x} = 2 \cdot x - 2 | \cdot x

y = 2 \cdot x^{2} - 2 \cdot x + 1

{(x - 1)}^{2} + 2 = 2 \cdot x^{2} - 2 \cdot x + 1

x^{2} + 2 = 2 \cdot x^{2}

x^{2} = 2

x_{1} = \sqrt{2} \to B_{1} (\sqrt{2} | p (x_{1}))

x_{2} = - \sqrt{2} \to B_{2} (- \sqrt{2} | p (x_{2}))

u . s . w

.

mfG

Atlantik

G r a p h e n :

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