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Nullstelle einer Exponentialfunktion mit Parameter

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Analysis, e-Funktion, Exponentialfunktion, Funktionenschar, Kurvendiskussion, Nullstell, Parameter

iceberq aktiv_icon

11:04 Uhr, 30.11.2018

Guten Morgen,

ich will von der Funktion fa(x)

= e^{2} x - a \cdot e^{x}

die Nullstelen bestimmen. Normalerweise habe ich da immer erstmal

e

ausgeklammert, jedoch weiß ich nun nicht wie ich weiter machen soll.
Mein Ansatz:
Ich würde

e^{x}

ausklammern:

e^{x} (- a + < -

was hier jetzt hin muss kann ich mir nicht erschließen. Ich muss ja beim Ausmultiplizieren wieder auf

e^{2} x

kommen.
Könnte mir bitte jemand weiterhelfen?

Danke im Voraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kurvendiskussion (Mathematischer Grundbegriff)
e-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Funktionenschar (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Allgemeine Exponentialfunktion - Einführung
Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten
e-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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11:12 Uhr, 30.11.2018

e^{2 x} - a \cdot e^{x} = e^{x} (e^{x} - a)

e^{x} \cdot e^{x} = e^{x + x} = e^{2 x}

Potenzgesetz

rundblick aktiv_icon

13:25 Uhr, 30.11.2018

.
noch eine kleine Ergänzung :

wenn du

\to e^{2 x},,

statt

\to e^{2} x

bekommen willst , dann solltest du einfach die
Hochzahl

(2 x)

in eine Klammer schreiben .. ok?

und dann:
wie sieht nun deine Antwort aus auf die Frage nach Nullstellen von

f (x) = e^{x} \cdot (e^{x} - a)

\to . .

?
.

iceberq aktiv_icon

13:56 Uhr, 30.11.2018

Vielen Dank erstmal!
Jetzt habe ich:

e^{x} \cdot (e^{x} - a) = 0

e^{x}

≠ 0 ODER

e^{x} - a = 0 | + a

e^{x} = a | ln (...)

ln (e^{x}) = ln (a)

x \cdot ln (e) = ln (a)

x = ln (a)

Wenn ich das in fa(x) einsetze erhalte ich:

fa(ln(a))

= e^{2 \cdot ln (a)} - a \cdot e^{ln (a)}

Muss ich da noch irgendwas zusammenfassen oder geht das auch so?

/edit: Ich weiß, dass es eigentlich egal ist, da Nullstellen immer

f (x) = 0

haben. Aber unsere Lehrerin ist da immer sehr penibel.

rundblick aktiv_icon

14:18 Uhr, 30.11.2018

.
nachdenken!

was weisst du zB über a ?

.

funke_61 aktiv_icon

14:20 Uhr, 30.11.2018

Hallo,

x = ln (a)

ist die einzige Nullstelle, da ja

e^{x}

nicht Null wird.
Wenn Du diese Nullstelle wieder in die Funktion einsetzt, so ist das die Probe, ob es sich wirklich um eine Nullstelle handelt.

Was bekommst Du denn, wenn Du

f_{a} (x) = e^{2 a \cdot ln a} - a^{ln a}

vereinfachst?
;-)

rundblick aktiv_icon

14:41 Uhr, 30.11.2018

.
da sprüht der Funke falsch: vergiss es

. . f_{a} (x) = .

.
abgesehen davon, dass dann rechts kein

x

mehr steht .. alles rechts ist eh falsch

aber: hast du schon überlegt ob es zB auch gar keine Nullstellen haben könnte ??

.

iceberq aktiv_icon

15:00 Uhr, 30.11.2018

Also in der Aufgabe steht dass

a > 0

sein muss und wir die Funktion auf Nullstellen, Extrema, Wendestellen und das Verhalten im Unendlichen diskutieren sollen. Danach soll man den Graphen von

f 2 (x)

und

f 3 (x)

im Intervall

[- 3; 1,2]

zeichnen.
Ich habe jetzt die Nullstellen von

f 2

und

f 3

bestimmt. Also das habe ich verstanden.

Um die Extrema und Wendestellen zu berechnen habe ich mir folgende Ableitungen notiert:
fa'(x)

= 2 \cdot e^{2 x} - a \cdot e^{x}

fa''(x)

= 4 \cdot e^{2 x} - a \cdot e^{x}

fa'''(x)

= 8 \cdot e^{2 x} - a \cdot e^{x}

Stimmt das so?

rundblick aktiv_icon

15:37 Uhr, 30.11.2018

.
"Also in der Aufgabe steht dass

a > 0

sein muss"

aha ! ...dass

a > 0

sein muss

\to

warum wohl ?
nebenbei: was wäre , wenn

a \leq 0

? .. was meinst ?

\to,,

und ja

\to

deine Ableitungen sind richtig
wie geht es dann weiter?

.

iceberq aktiv_icon

16:40 Uhr, 30.11.2018

Meine Vermutung: Also ich weiß, dass man den Logarithmus mit negativen Zahlen oder der 0 nicht anwenden kann. Und da ich für die Nullstelle

ln (a)

raus hatte, denke ich, dass deswegen

a > 0

gilt.

Um die Extrema und Wendepunkte zu bestimmen muss ich nun die Notwendige und Hinreichende Bedingung erfüllen. Dazu benötige ich bei den Extrema die erste und die zweite Ableitung - bei den Wendepunkten die zweite und die dritte.
Danke für die Hilfe!

rundblick aktiv_icon

16:54 Uhr, 30.11.2018

.
".. Und da ich für die Nullstelle

ln (a)

raus hatte, denke ich, dass deswegen

a > 0

gilt."

- ja .. und wenn

a < 0

wäre, dann hätte

f_{a} (x) = e^{2 x} - a e^{x} \to

keine einzige Nullstelle
dh dass dann schlicht

f_{a} (x) > 0

wäre für alle

x \in R

und:
welche Extrema und welche Wendepunkte hast du gefunden ?

und
dann sollst du ja noch "das Verhalten im Unendlichen diskutieren" ?

.

iceberq aktiv_icon

13:04 Uhr, 01.12.2018

Extrempunkt für

f 2 :

T (ln (1) | - 1)

für

f 3 :

T (ln (\frac{3}{2}) | - \frac{9}{4})

Wendepunkte:

für

f 2 :

W (ln (\frac{1}{2}) | - \frac{3}{4})

für

f 3 :

W (ln (\frac{3}{4}) | - \frac{27}{16})

Beide Punkte sind Rechts-Links-Wendepunkte, da bei der Hinreichenden Bedingung eine größere Zahl als 0 raus kam.

Jetzt muss ich ja noch das Verhalten im Unendlichen ermitteln.

Ansatz:
für

f 2 (x)

lim x \to -

∞

: e^{x} \cdot (e^{x} - 2)

Kommentar:

e^{x}

weist in Richtung - Unendlichkeit ein asymptotisches Verhalten auf, das heißt es nähert sich immer mehr an

y = 0

e^{x} - 2

habe ich mit dem TR getestet, diese nähert sich beim Einsetzen negativer x-Werte immer mehr an die

- 2

rundblick aktiv_icon

23:01 Uhr, 01.12.2018

\to

die Extrema und Wendepunkte hast du

\to

richtig !

\to

das Verhalten für

x \to - \infty

scheint noch nicht abschliessend kommentiert
also: wenn einer der Faktoren

\to 0

und der andere

\to - 2

strebt

\to

was wird sich dann schlussendlich wohl ergeben für den gesuchten

\to

lim_{x \to - \infty} [e^{x} \cdot (e^{x} - 2)] =

?

und allgemein:

lim_{x \to - \infty} [e^{2 x} - a \cdot e^{x}] =

? ?

\to

kannst du also nun noch eine Asymptote notieren ?

und ganz nebenbei:
was passiert eigentlich mit

f (x),

wenn

x \to + \infty

?

.

iceberq aktiv_icon

18:24 Uhr, 02.12.2018

für

lim x \to -

Unendlichkeit habe ich

0,

weil

e^{x}

in diese Richtung ein asymptotisches Verhalten aufweist und somit gegen 0 geht

; e^{x} - a

würde beim Einsetzen negativer Werte gegen

+

Unendlichkeit gehen

\to 0 \cdot +

Unendlichkeit

= 0

für

lim x \to +

Unendlichkeit habe ich - Unendlichkeit, weil

e^{x}

in diese Richtung gegen

+

Unendlichkeit geht,

e^{x} - a

jedoch gegen - Unendlichkeit

\to + \cdot - = -

Wäre das so korrekt?

Und noch eine Frage: Ich soll die Graphen für

a = 2

und

a = 3

im Intervall

[- 3; 1,2]

zeichnen.
Welchen Maßstab würdet ihr nehmen?

MfG

ledum aktiv_icon

00:13 Uhr, 04.12.2018

Hallo
so dass

- 3

bist 2 ein schön sichtbares Stück ist, das musst du doch wohl nicht wirklich fragen?
Gruß ledum

rundblick aktiv_icon

16:47 Uhr, 04.12.2018

.
"Wäre das so korrekt?"

... . .

\to

NEIN , überhaupt nicht..

\to

"e^x

- a

würde beim Einsetzen negativer Werte gegen

+

Unendlichkeit gehen" ..->völlig falsch!

" →0⋅+ Unendlichkeit

= 0

...

\to

absoluter Nonsens !

\to

also überlege die Begründung neu

: \to lim_{x \to - \infty} [e^{x} \cdot (e^{x} - a)] = 0^{-}

ebenso falsch und damit neu zu überlegen ist:

\to

"für limx→+ Unendlichkeit habe ich - Unendlichkeit,..."

.

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