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Nullstellen, Hoch/Tiefpunkt + Wendepunkt berechnen

Schüler Berufskolleg, 12. Klassenstufe

Tags: Hochpunkt, Nullstellen, Tiefpunkt, Wendepunkt, Y-Achsenabschnitt

Pferdepuschel aktiv_icon

19:13 Uhr, 17.10.2011

Hallo! Mir hat meine Nachhilfe kurzfristig abgesagt und morgen schreibe ich eine Klausur und komme nicht mehr weiter!

: - (

Verstehe nichtmals konkret die Aufgaben auf unseren Übungszetteln, weil mir viel Stoff fehlt durch ewige Krankengeschichten..

also, die Aufgabe lautet:
Bestimmen Sie für die folgende Funktion Nullstellen, y-Achsenschnitt, Hoch- und Tiefpunkte sowie Wendepunkte:

f(x)=-1/4(Bruch)x³+1/4x²+5/4x+3/4

Zeichnen Sie im Anschluss an Ihre Berechnungen den Graphen im Intervall

- 2 \leq x \leq + 3,5

Legen Sie dazu eine Wertetabelle an, in der Sie auch alle bereits ermittelten Werte eintragen.

Zum Nullstellen berechnen, zu aller erst

f (x) = 0

und dann Hornerschema, oder?
Danach ableiten

(f' (x), f'' (x)) .

. und dann weiß ich nicht mehr weiter, wie ich die Hoch und Tiefpunkte berechne & die Wendepunkte und was soll der y-Achsenabschnitt sein? *sfz*
Und was heißt dieses

- 2 \leq x \leq + 3,5

bei der Wertetabelle? Mit dem

x

in der Mitte ist mir das Neuland..

Kann vllt Jemand einen genauen Ablauf beschreiben, damit ich eine Reihenfolge hab wie ich alles berechnen muss? Und vllt Tipps?

Hat nichts geholfen, muss so oder so mitschreiben meinte die Lehrerin heute..

Lg

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff)
Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff)
Extrema (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten
Allgemeine Sinusfunktion
Krümmungsverhalten
Nullstellen
Nullstellen bestimmen
Polynomdivision

Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten
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prodomo aktiv_icon

19:23 Uhr, 17.10.2011

Am besten fängt man mit der Wertetabelle an. Darfst du einen TR benutzen, der Wertetabellen kann,

z

.BN. Casio fx

991

Pferdepuschel aktiv_icon

19:25 Uhr, 17.10.2011

ja dürfen wir, habe aber keinen so guten - ist einer von aldi son günstiges teilken der kann au keine komplette gleichung auf dem display anzeigen..müsste jeden schritt einzeln rechnen

prodomo aktiv_icon

19:26 Uhr, 17.10.2011

Bei solchen kubischen Funktionen geht vieles leichter, wenn man eine Nullstelle gefunden hat. Die Notation mit dem

x

zwischen den beiden

<

heißt nur

n

prodomo aktiv_icon

19:38 Uhr, 17.10.2011

dass

x

zwischen

- 2

und

3,5

liegen soll ( sonst werden wahrscheinlich die Werte zu groß ) Die ca.

26

Euro für den fx

991

wären sehr gut angelegt, der ist nicht programmierbar und nicht grafikfähig, daher fast immer erlaubt, und kann Dinge, von denen du nur träumst.
Für die Tabelle klammerst du am,besten

\frac{1}{4}

aus, also

y = \frac{1}{4} \cdot (- x^{3} + x^{2} + 5 \cdot x + 3)

. Jetzt kann man versuchen, ob die Klammer eine leicht zu findende Nullstelle hat.Wenn schon der Bereich von

- 2

bis

3,5

gegeben ist, wird sie wahrscheinlichj dort sein, also probieren wir

- 2, - 1,

usw.

x = - 2

gibt

y = \frac{8 + 4 - 10 + 3}{4} = 1,25

x = - 1

gibt

y = \frac{1 + 1 - 5 + 3}{4} = 0,

da ist sie schon

x = 0

gibt

\frac{3}{4}

x = 1

gibt

y = 2

x = 2

gibt

y = 2,25

x = 3

gibt

y = 0,

die zweite Nullstelle

Da drei Nullstellen möglich sind, könnte eine doppelt sein,

d . h

. dort geht die Kurve nicht durch die x-Achse, sondern berührt sie nur (das gibt einen Hoch- oder Tiefpunkmt, finden wir dann)

prodomo aktiv_icon

19:52 Uhr, 17.10.2011

Damit sind wir schon bei den Extrempunkten, die erste Ableitung ist

y' = \frac{1}{4} \cdot (- 3 \cdot x^{2} + 2 \cdot x + 5)

. Die hat für

x = - 1

den Wert Null, da ist also unsere doppelte Nullstelle. Zweite Ableitung ist

y'' = \frac{1}{4} \cdot (- 6 \cdot x + 2),

das ergibt beim Einsetzen von

- 1

den Wert

\frac{1}{4} \cdot (6 + 2) = 2,

also positiv. Damit ist

(- 1 | 0)

ein Tiefpunkt. Die zweite Extremstelle finden wir, indem wir

\frac{1}{4} \cdot (- 3 \cdot x^{2} + 2 \cdot x + 5) = 0

setzen. Es genügt, dass die Klammer Null wird. Das ist bei

x = - 1

und bei

x = \frac{5}{3}

der Fall (notfalls pq-Formel).
Die zweite Ableitung gibt beim Einsetzen von

\frac{5}{3}

den Wert

- 2 (

muss bei kubischen Funmktionen immer das Gegenteil der anderen Extremstelle sein), also Hochpunkt bei

(\frac{5}{3} | \frac{64}{27})

. Bleibt der Wenbdepunkt,

y'' = 0,

also

- 6 \cdot x + 2 = 0,

gibt

x = \frac{1}{3}

. Der liegt genau zwischen Hoch - und Tiefpunkt, weil solche Kurven punktsymmetrsich zum Wendepunkt sidn.

Der y-Achsenabschnitt ist das Stück, das die mKurve von der y-Achse abschneidet, also der Wert für

x = 0,

hier

\frac{3}{4}

.
Versuche mal, das nachzuvollziehen

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