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Nullstellen berechnen durch Substitution

Schüler

Tags: Ganzrationale Funktionen, Nullstellen, Substitution

MatheHonk aktiv_icon

14:16 Uhr, 20.11.2013

Hallo, ich sollte als Hausaufgabe die Nullstellen folgender Funktion durch Substitution berechnen:

f (x) = 3 x^{4} - 15 x^{2} + 12

Ich habe also folgendes gerechnet:

0 = 3 z^{2} - 15 z + 12

0 = z^{2} - 5 z + 4

Dann mit pq-Formel:

\frac{5}{2} \pm \sqrt{{(\frac{5}{2})}^{2} - 4}

Dann kamen als Ergebnisse raus:

z 1 = 4

und

z 2 = 1

Dann hab ich Resubstitution angewendet also

\sqrt{4} = 2

und

\sqrt{1} = 1

Die beiden Nullstellen sind auch vorhanden denn ich hab die Funktion davor schon gezeichnet, allerdings gibt es insgesamt vier Nullstellen und nicht nur 2. Es gibt auch noch die Nullstellen

- 2

und

- 1

. Ich hab ja jetzt aber nur zwei und nicht vier Wie komm ich jetzt noch auf diese beiden ?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff)
Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten
Allgemeine Sinusfunktion
Nullstellen
Nullstellen bestimmen
Polynomdivision

Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten
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Nullstellen
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Eva88 aktiv_icon

14:18 Uhr, 20.11.2013

\sqrt{4}

ist 2 und

- 2

\sqrt{1}

ist 1 und

- 1

MatheHonk aktiv_icon

14:19 Uhr, 20.11.2013

Achso und wieso...also kann man das prüfen?

Eva88 aktiv_icon

14:21 Uhr, 20.11.2013

Weil die Wurzel einer positen Zahl immer 2 Lösungen liefert.

\sqrt{4} = 2

denn

2 \cdot 2 = 4

und

\sqrt{4} = - 2

denn

- 2 \cdot - 2 = 4

Matlog aktiv_icon

14:26 Uhr, 20.11.2013

Was Eva da sagen will ist, dass die Gleichung

x^{2} = 4

zwei Lösungen hat.

ABER:

\sqrt{4} = 2

\sqrt{4} = - 2

ist definitiv FALSCH!

keyrs aktiv_icon

15:10 Uhr, 20.11.2013

Generell schlage ich dir vor nicht mit der pq-Formel zu arbeiten, wenn möglich wie in diesem Fall.
Einfaches Prinzip. Minus mal Minus ergibt Plus.

(- 2) \cdot (- 2)

ergibt halt 4.

f(x)=3x4−15x2+12

3 y^{2} - 15 y + 12 = 0

|Substitution

3(y-4)(y-1)=0|faktorisieren-

- 4 - 1 = - 5 \cdot 3 = - 15

und

- 1 \cdot 3 = - 3 \cdot - 4 = 12

Rest dürfte verständlich sein.

y - 4 = 0 y - 1 = 0

y = 4; y = 1

x^{2} = 4; x^{2} = 1

x = 2 v; x = - 2 v; x = 1 v; x = - 1

Atlantik aktiv_icon

15:26 Uhr, 20.11.2013

z_{1} = 4 \to

x^{2} = 4 | \sqrt{}

x_{1} = + \sqrt{4} = + 2

x_{2} = - \sqrt{4} = - 2

z_{2} = 1 \to

x^{2} = 1 | \sqrt{}

x_{1} = + \sqrt{1} = + 1

x_{2} = - \sqrt{1} = - 1

mfG

Atlantik

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Atlantik aktiv_icon

15:48 Uhr, 20.11.2013

x^{2} = 4

ergibt deswegen 2 Nullstellen, weil

f (x) = x^{2} - 4

eine Parabel mit 2 Nullstellen ist.
Analog gilt das auch für

x^{2} = 1

mfG

Atlantik

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MatheHonk aktiv_icon

15:53 Uhr, 20.11.2013

Okay danke erstmal euch allen. Und wie bring ich das jetzt in die Linearfaktorzerlegung? Habe gerade gesehen dass das auch noch zur Aufgabe gehört, hab gerade aber 0 Plan wie das geht.

keyrs aktiv_icon

16:13 Uhr, 20.11.2013

Genau deswegen habe ich dir die Faktorisierung hingeschrieben :-)
Steht schon da.

Du musst versuchen 3x^4−15x^2+12 in einer anderen Gleichung darzustellen also

3 (x - 4) (x - 1)

hier

- 4

weil eine Nullstelle 4 ist und

- 1

weil eine Nullstelle 1 ist.
In der neuen Gleichung muss dann deine alte Gleichung als Ergebnis herauskommen.

Wäre die Nullstelle

- 4

dann müsstest du 4 nehmen. Also immer das gegen Vorzeichen nehmen.

Falls es nicht verständlich ist, dann schreibe ich dir das noch mal ausführlicher hin.

MatheHonk aktiv_icon

16:48 Uhr, 20.11.2013

Danke :-)

Loopi aktiv_icon

16:33 Uhr, 21.02.2015

Ich bin gerade, als ich mich in das Thema wieder einlesen wollte, auf das Forum gestoßen. Weil es anderen vielleicht ähnlich geht, eine späte Korrektur.
"Du musst versuchen 3x^4−15x^2+12 in einer anderen Gleichung darzustellen also

3 (x - 4) (x - 1)

hier

- 4

weil eine Nullstelle 4 ist und

- 1

weil eine Nullstelle 1 ist.
In der neuen Gleichung muss dann deine alte Gleichung als Ergebnis herauskommen."
ist so leider Unsinn.
1. Wenn ich die faktorisirte Gleichung ausmultipliziere muss sie die ursprüngliche Gleichung ergeben.
2. Aus erstens ergibt sich also

3 (x - 4) (x - 1) = 3 x^{2} - 15 x + 12

was der substituierten Gleichung entspricht, nicht jedoch der ursprünglichen.
Wenn wir jedoch resubstituieren, also

x^{2}

für (hier leider, eigentlich besser eine andere Variable

z . B . : z) x

einsetzen, ergibt sich:

3 (x^{2} - 4) (x^{2} - 1)

(x^{2} - 4)

und

(x^{2} - 1)

lassen sich nach der dritten binomischen Formel
"(a+b)(a-b)=a^2-b^2"
zerlegen in:

(x + 2) (x - 2)

und

(x + 1) (x - 1)

Somit ergibt sich für die urprüngliche Gleichung die Linearfaktorzerlegung:

3 (x + 2) (x - 2) (x + 1) (x - 1)

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