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S(-b/2a\c-b²/4a)

Schüler Realschule, 10. Klassenstufe

Normalparabel

Parabel

Parabel durch zwei Punkte

Gleichungssysteme

Tags: Gleichungssystem, Herleitung, Normalparabel, Parabel, Parabel durch zwei Punkte

wolfger1 aktiv_icon

19:39 Uhr, 21.02.2018

ax²+bx+c=a(x-xs)²+ysBinomische Formel
ax²+bx+c=a*x²-a*2*xs*x+a*xs²+ysa*2*xs=b
ax²+bx+c=a*x²-b*x+a*xs²+ysÄquivalentes Umformen/(a*x²+b*x)

c =

-2*b*x+a*xs²+ysÄquivalentes Umformen

/ + 2 \cdot b \cdot x

/-a*xs²
c+2*b*x-a*xs²=ys
a*x²+b*x+c

= y

y =

a*x²+b*x+c

/ a

\frac{y}{a} =

x²+b/a*x+c/a

o =

x²+p*x+q

o =

x²+b/a*x+c/a
=

c-b²/4*a=ys
Hat jemand eine Idee wie ich zu dieser Formel komm?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Quadratische Funktionen (Mathematischer Grundbegriff)
Parabel (Mathematischer Grundbegriff)
Quadratische Ergänzung

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Schnittpunkte zweier Parabeln bestimmen
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Ginso aktiv_icon

09:33 Uhr, 22.02.2018

wo ist denn ab der 6. Zeile dein

s

hin verschwunden?

{(x s)}^{2}

sollte auch zu

x^{2} s^{2}

werden und nicht zu

x s^{2}

ledum aktiv_icon

12:27 Uhr, 22.02.2018

Hallo @Ginso
es ist im ersten post alles richtig, xs besser

x_{s}

ist die x-Koordinate des Scheitels und nicht

x \cdot s

.
@ Wofger
eigentlich ist es einfacher mit quadratischer Ergänzung zu arbeiten .
Du hast

y = a \cdot x^{2} + b \cdot x + c

daraus umgeformt

y = a \cdot (x^{2} + \frac{b}{a} \cdot x + {(\frac{b}{2 \cdot a})}^{2} - {(\frac{b}{2} a)}^{2}) + c

dabei ist

{(\frac{b}{2 \cdot a})}^{2}

die quadratische Ergänzung

y = a \cdot {(x + \frac{b}{2 \cdot a})}^{2} - a \cdot {(\frac{b}{2 \cdot a})}^{2} + c

und jetzt sieht man direkt

x_{s} = - (\frac{b}{2 \cdot a}), y_{s} = - a \cdot {(\frac{b}{2 \cdot a})}^{2} + c = c - \frac{b^{2}}{4 \cdot a}

diese Formeln muss man nun nicht auswendig lernen, da man in jedem Fall die quadratische Ergänzung schnell hat, wenn man sie mal kapiert hat.
Das Vorgehen , das du vorführst ist dagegn kompliziert, es fängt an mit der Scheitelpunktsform

y = a \cdot {(x - x_{s})}^{2} + y_{s}

diese Wird ausmultiplizieert zu

y = a \cdot x^{2} - 2 \cdot a \cdot x_{s} \cdot x + a \cdot x_{s}^{2} + y_{s}

jetz wird verglichen mit

y = a \cdot x^{2} + b \cdot x + c

in der oberen Gleichung steht bei

x - 2 \cdot a \cdot x_{s}

in der unteren

b

also ist

b = - 2 \cdot a \cdot x_{s}

daraus

x_{s} = - \frac{b}{2 \cdot a}

ohne

x

steht oben

y_{s} + a \cdot x_{s}^{2},

unten

c

deshalb

c = y_{s} + a \cdot x_{s}^{2}

und damit

y_{s} = c - a \cdot x_{s}^{2}

da noch

x_{s}

einsetzen und du hast

y_{s} = c - a \cdot \frac{b^{2}}{4 \cdot a^{2}}

ist es so klar? ich denke diese Methode ist unnötig kmpliziert, man muss sich Formeln merken oder jedesmal wenn man eine Parabel hat neu so kompliziert rechnen.
kurz: quadratische ergänzung (die man auch sonst öfter braucht) ist besser.
Gruß ledum

wolfger1 aktiv_icon

15:08 Uhr, 22.02.2018

Sorri ausversehen verschwunden
xs: schnitpunktkoordinate

x

ys: schnitpunktkoordinate

y

S(xs\ys)

s

ist keine eigene Variable

wolfger1 aktiv_icon

15:39 Uhr, 22.02.2018

Danke
und des ist erstens so das man bei uns mit der Normalform y=a*x²+b*x+c zumeist beginnt und mein Lehrer hat mir ´ne eins versprochen wenn ich die Herleitung von dem erklären kann ich kam blos nicht auf die Idee mit der quadratischen ergenzung und habe mich deshalb hier angemeldet
jedenfalls hat deine Antwort geholfen

- \frac{b}{2} a

y=a*x²+bx+c
y=a*(x²*b/a*x+(b/2a)²-(b/2a)²+c)
y=a*((x+b/2a)²-(b/2a)²+c)\"-b/2a=w"\\\\\\\\\\\\\\\\\\w=xs
y=a*((x+w)²-(w)²)+c\\\\\\\\"-w+c=e\\\c-(b/2a)²=e\\\e=ys
y=a*(x+w)²-a*(b/2a)²+c
und so weiter
letzte frage:
a*(b/2a)²
=b²/4a
kannst du das warum erklären mit meinem wissen geht das noch nicht

ledum aktiv_icon

16:22 Uhr, 22.02.2018

Hallo
das umbennenne von

x_{s} = w

find ich schlecht, was soll das bringen?

a \cdot {(\frac{b}{2 \cdot a})}^{2} = a \cdot \frac{b^{2}}{2^{2} \cdot a^{2}} = \frac{b^{2}}{4 \cdot a^{2}}

nach kürzen, schlecht, dass du das nicht siehst, aber manchmal steht man auf der Leitung.
in einer deiner Zeilen steht

w^{2}

statt

a \cdot w^{2}

sonst ist alles richtig
Als Anfang solltest du dein Ziel hinschreiben, die Scheitelpunksform.
Gruß ledum

wolfger1 aktiv_icon

18:33 Uhr, 22.02.2018

in meiner Formel Sammlung steht c-b²/4a
laut dem rechenweg den du genommen hast und den ich nehmen wollte lautet dies jedoch c-b²/4*a²
was von beiden ist nun falsch
(deshalb hatte ich nachgefragt)
und wie kann ich deine frage bewerten?

ledum aktiv_icon

18:53 Uhr, 22.02.2018

sorry, ich hatte nen Tipfehler

a \cdot \frac{b^{2}}{2^{2} \cdot a^{2}} = \frac{b^{2}}{4 \cdot a}

Gruß ledum

wolfger1 aktiv_icon

20:13 Uhr, 22.02.2018

Schon Ok habs zufällig grad selbst herausgefunden

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