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Stauchen und Strecken einer Sinusfunktion
Universität / Fachhochschule
Funktionen
Tags: Funktion, Sinus, Sinusfunktion
 
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Hallo, wir hatten letztens in einer Übung die Aufgabe eine Sinusfunktion so zu modifizieren, dass ihre Periode bei 3 liegt. Ich habe einen Ansatz gewählt, der sich als falsch herausgestellt hat, aber ich würde gerne verstehen, warum das so ist. Ich mache Mathe für Naturwissenschaften nur als Nebenfach und mein Hauptfach ist auch nicht wirklich mathelastig. Daher seht es mir bitte nach, dass ich hier nicht so bewandert bin. Mein Ansatz war: Die Periode eines Sinus sind 2pi Gesucht wird eine Periode von was kleiner als 2pi ist. Um die Funktion zu stauchen oder strecken wird ein Faktor mit multipliziert. Sin (x) 2pi Sin (bx) (mit entsprechend korrektem Ich habe mir nun gedacht, dass der Faktor in der Formel Sin (x) ist. Sin ergibt also eine Periode von 2pi. Ich habe es mir dabei in Prozent vorgestellt und gedacht, dass dies sind und da 3 kleiner als 2pi ist, kann ich einen Faktor zwischen 0 und und wählen, der das prozentuale Verhältnis von 3 zu 2pi ausdrückt. (Außerdem habe ich eine Analogie zu Parabeln gezogen, die mit einem Faktor zwischen 0 und 1 auch gestaucht werden.) Daher habe ich 3/2pi gerechnet und grob herausbekommen, was bezüglich des Verhältnisses ja auch Sinn macht, wenn 2pi 6,… ist. Die hatte ich dann als eingesetzt und somit die Formel Sin erhalten. In der Musterlösung verhält es sich aber nun genau umgekehrt. Es heißt zwar auch, durch Sin (bx) wird die Periode verändert. Aber hier errechnet sich die Periode, indem man 2pi/b errechnet. Also 2pi/b Dementsprechend ergibt wieder 2pi und 2pi/3 . (Damit ist es also genau anders herum als mein Ansatz. Ich käme mit b2pi auf die Periode und mit 3/2pi auf ist dementsprechend auch größer als 1. Ich hätte aber gedacht, dass genau das die Periode verlängert und sie dann über 2pi liegt, anstatt sie auf 3 zu verkürzen. Ich kenne mich mit den Eigenschaften einer Sinusfunktion nicht wirklich aus und kann daher den Lösungsansatz nicht nachvollziehen. Wenn mich jemand erhellen würde, würde mir das sehr weiterhelfen. Und bitte nicht hauen, dass ich so ne dumme Frage stelle. Grüße Timo Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Funktion (Mathematischer Grundbegriff) Sinus (Mathematischer Grundbegriff) Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff) Wichtige trigonometrische Werte Additionstheoreme Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff) Rechenregeln Trigonometrie Allgemeine Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Definition von Sinus, Kosinus und Tangens Einführung Funktionen Sinus und Kosinus für beliebige Winkel Sinus- und Kosinusfunktion |
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Hallo, ok, Präliminarien: 1. In Niedersachsen ist (genau) dieses Thema in Klasse 10 dran. Nebenfach hin oder her. Deshalb ist es vielleicht hilfreich, sich ein Mathebuch der Klasse 10 aus Niedersachsen zu beschaffen (wenn du nachlernen willst). 2. Diese Sache mit der Streckung in -Richtung ist nicht ausschließlich eine Eigenschaft des Sinus. Vielmehr betrifft es ALLE Funktionen. Du hast sicher einen Computer und vielleicht auch ein Programm, das Funktionen plotten kann. Dort kannst du deine Analogie zu den Parabeln (gut, dass du dich daran erinnerst!) testen. Aber Vorsicht, verwechsle NICHT Strecken und Stauchen in - und in -Richtung! Korrekt ist, dass der Graph zu in -Richtung gestaucht ist. (Erst Quadriert, dann der Streckfaktor -> -Richtung) Aber: Der Graph zu ist NICHT in -Richtung gestaucht (erst Streckfaktor, dann Quadrieren -> -Richtung). Das Problem tritt also bei den Parabeln auch auf. Nun zur Erklärung (dazu gern wieder mit Sinus): Wir versuchen uns vorzustellen, woher (!) der Sinuswert an einer Stelle (der EInfachheit ) für die Funktion stammt. Von jenseits der Stelle (vom Ursprung aus gesehen) oder von diesseits? Mfg Michael |
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Hallo Michael, vielen Dank für deine Antwort. Ich glaube, ich habe verstanden, was du meinst. Lass mich zum Überprüfen mal versuchen, es mit meinen Worten auszudrücken. (Mathematisch wird das alles andere als korrekt.) Eine Funktion hat gewisse Charakteristika, sodass durch die anzustellenden Rechenoperationen individuellen spezifische Werte (und . besondere Merkmale wie Nullstellen, Wendepunkt usw.) zugeordnet sind. Wenn ich entlang der X-Achse stauche oder strecke, verändere ich nicht die Struktur der Rechenoperationen, die bestimmte Charakteristika verursacht. Wenn die zu verrechnende Variable bei . Stelle 6 ein lokales Maximum verursacht, bleibt dieses Merkmal prinzipiell gleich. Indem ich ein einsetze und dieses aber vor jeder anderen Rechenoperation mit einem Faktor verändere, wird diese neue Zahl die neue zu verrechnende Variable. Dadurch kann ich dafür sorgen, dass entlang der X-Achse theoretisch Stellen schneller oder langsamer erreicht werden (obwohl man bei einem Graphen trotzdem das Original-X angibt). Ich habe mir das am Beispiel eines Polynom dritten Grades vorgestellt. Dort würden die Maxima, Nullstellen und der Wendepunkt schneller auftreten, wenn ich das vor jeder Weiterrechnung vergrößere (und umgekehrt). Dadurch wird der Graph kürzer. Wenn ich entlang der Y-Ache stauche oder strecke, werden die Rechenoperationen erst auf angewandt und das Ergebnis dann nachträglich modifiziert. Der Wert auf der Y-Achse wird dadurch vergrößert oder verringert (sodass auch Maxima usw. bez. ihrer Werte anders ausfallen). Die Charakteristika bezüglich der X-Achse (wann etwas auftritt) werden dabei jedoch nicht verändert. Deshalb wird der Graph bei der Sinusfunktion mit einem Koeffizienten größer 1 verkürzt, weil simuliert wird, dass höhere x-Werte auftreten als der eigentlich eingesetzte. Ich beschleunige dadurch den Wechsel zwischen den Maxima und Minima und die Periode wird kürzer. Wär das so, trotz Laiensprache, vom Prinzip richtig? Grüße Timo |
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