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Stetigkeit einer Potenzfunktion

Universität / Fachhochschule

Stetigkeit

Tags: Potenzfunktion, Stetigkeit

ker-o aktiv_icon

20:45 Uhr, 05.12.2016

Hey,
es sei

α > 0

(a)

Die Abbildung

p_{α} : ℝ_{+} \to ℝ; x \mapsto x^{α}

ist stetig.

(b)

Ist

α < β

, so gilt

x^{α} < x^{β}

genau dann, wenn

x > 1

gilt.

(c)

Es gilt

lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{x^{α}} = + \infty

, d.h.

e^{x}

wächst für

x \to \infty

schneller gegen unendlich als jede Potenz von x. (Hinweis: Mit Hilfe eine

k \in ℕ

mit

α < k

, wenden Sie (b) an.)

Ich hänge noch an Teil a. Ich habe bereits Hinweise gelesen, dass man die Stetigkeit wohl an dem Konvergenzradius der Potenzreihe sieht, ich weiß nur nicht wie man das anstellt - in der Vorlesung gab es auch nichts derartiges.

Bis jetzt habe ich nur raus, das

x^{α}

streng monoton steigend für

α > 0

ist, aber da es ja nicht beschränkt ist kann ich wenig damit anfangen. Und Stetigkeit in nur einem Punkt

x_{0}

hilft ja auch nicht groß weiter.

Habt ihr noch Ideen/ Anmerkungen (es geht erstmal um Aufgabe a).

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzfunktionen (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableitungsregeln für Polynomfunktionen
Potenzfunktionen - Definitionsbereich
Potenzfunktionen - Einführung
Potenzfunktionen - Fortgeschritten

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DrBoogie aktiv_icon

20:48 Uhr, 05.12.2016

" Ich habe bereits Hinweise gelesen, dass man die Stetigkeit wohl an dem Konvergenzradius der Potenzreihe sieht"

Du hast doch gar keine Reihe. :-O

ker-o aktiv_icon

21:15 Uhr, 05.12.2016

Merke es auch gerade.

Dann überlesen wir das einfach :-D)

DrBoogie aktiv_icon

21:19 Uhr, 05.12.2016

Ich weiß nicht, was Du nutzen darfst.
Der Beweis der Stetigkeit von

x^{a}

für alle

a

ist richtig mühselig, wenn man ihn vollständig macht.

ker-o aktiv_icon

21:41 Uhr, 05.12.2016

Den muss es doch irgendwo geben (den Beweis). Selbst wenn der Beweis Sätze beinhaltet, die ich in der VL noch nicht hatte, wäre mir das lieber als garkein Beweis.

DrBoogie aktiv_icon

21:44 Uhr, 05.12.2016

Der Beweis geht so: zuerst wird die Stetigkeit von

x^{n}

für ganze

n

bewiesen. Das kann man direkt machen, oder aus der Stetigkeit von

x

herleiten, mit allgemeinen Eigenschaften von Stetigkeit.
Dann beweist man die Stetigkeit für

x^{q}

für rationale

q

. Das geht auch relativ einfach.
Und dann die Stetigkeit von

x^{a}

mit allgemeinen reellen

a

. Dieser Teil ist technisch relativ schwierig. Da muss man eine Art Grenzüberganz nutzen, indem man

a

mit rationalen Zahlen approximiert.

Dieser Beweis ist in fast jedem dicken Analysis-Buch drin.

ledum aktiv_icon

22:52 Uhr, 05.12.2016

Hallo
Stetigkeit wie üblich mit

lim_{h \to 0 (f (x + h) - f (x)}

unter Benutzen der verallgemeinerten bin. Lehrsatz siehe in de.wikipedia.org/wiki/Binomischer_Lehrsatz
dort unter verallgemeinert
Gruß ledum

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