Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Summenformel aus Potenzreihe bestimmen

Summenformel aus Potenzreihe bestimmen

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen, Potenzfunktion, Potenzreihe, Summenformel

Maxim123 aktiv_icon

14:12 Uhr, 21.06.2014

Heeeelllooo

Gibt es einen Ansatz wie man eine Summenformel aus einer Potenzreihe aufstellt?

Beispiel:

\frac{1}{x^{2}} = 1 - 2 (x - 1) + 3 {(x - 1)}^{2} - 4 {(x - 1)}^{3} + . .

.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Potenzfunktionen (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableitungsregeln für Polynomfunktionen
Potenzfunktionen - Definitionsbereich
Potenzfunktionen - Einführung
Potenzfunktionen - Fortgeschritten

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Ableitung einer Potenzfunktion mit ganzzahligem Exponenten

Wie bestimmt man die Ableitung einer Potenzfunktion mit ganzzahligem Exponenten?

Funktionsgleichung der Exponentialfunktion

Wie stellt man die Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion auf?

Funktionsgleichung einer Potenzfunktion ermitteln

Wie ermittelt man zu gegebenen Eigenschaften einer Funktion die Funktionsgleichung?

Gehört diese Wertetabelle einer Potenzfunktion?

Wie prüft man nach ob eine gegebene Wertetabelle einer Potenzfunktion gehört?

Graph einer Potenzfunktion interpretieren

Wie kann man am Funktionsgraphen erkennen, um welche Potenzfunktion es sich dabei handelt?

Graph einer Potenzfunktion zeichnen

Wie kann man den Graphen einer Potenzfunktion zeichen, wenn nur die Funktionsgleichung gegeben ist?

Nullstellen einer Potenzfunktion bestimmen

Wie bestimmt man die Nullstellen einer Potenzfunktion?

Nullstellen einer Potenzfunktion bestimmen

Wie bestimmt man die Nullstellen einer Potenzfunktion wenn der Exponent

n = 2

oder

n = - 2

ist?

Stammfunktion einer Polynomfunktion

Wie bestimmt man eine Stammfunktion einer Polynomfunktion?

Wie bestimmt man eine Stammfunktion einer ganzrationalen Funktion?
Wie bestimmt man eine Stammfunktion einer Potenzfunktion?

Streckung und Stauchung einer Potenzfunktion

Wie kann man den Graphen einer Potenzfunktion stauchen und strecken?

Welche Rolle spielt der Parameterwert a bei einer Potenzfunktion?

Symmetrieeigenschaft einer Potenzfunktion

Wie bestimmt man die Symmetrieeigenschaft einer Potenzfunktion?

Verlauf einer Potenzfunktion

Wie kann man an der Funktionsgleichung erkennen, wie eine Potenzfunktion ungefähr aussieht?

Verschiebung eines Graphen einer Potenzfunktion

Was passiert wenn man den Graphen einer Potenzfunktion verschiebt?

Was muss man machen um den Graphen nach links, rechts, oben oder unten zu verschieben? Wie sieht dabei die Funktionsgleichung aus?

Wertemenge/Wertebereich einer Potenzfunktion

Wie bestimmt man den Wertebereich einer Potenzfunktion?

anonymous

14:23 Uhr, 21.06.2014

Was meinst du mit Summenformel aus einer Potenzreihe?

Meinst du wie man von

\frac{1}{x^{2}}

auf

\frac{1}{x^{2}} = \sum_{k = 0}^{\infty} {(- 1)}^{k} (k + 1) \cdot {(x - 1)}^{k}

kommt?

Meinst du wie man von

\sum_{k = 0}^{\infty} {(- 1)}^{k} (k + 1) \cdot {(x - 1)}^{k}

auf

\sum_{k = 0}^{\infty} {(- 1)}^{k} (k + 1) \cdot {(x - 1)}^{k} = \frac{1}{x^{2}}

kommt?

Oder meinst du etwas anderes?

Edit: Sorry, ich hatte einen Fehler in der Summe.

Maxim123 aktiv_icon

14:27 Uhr, 21.06.2014

Die Potenzreihe lautet:

\frac{1}{x^{2}} = 1 - 2 (x - 1) + 3 {(x - 1)}^{2} - 4 {(x - 1)}^{3} + . .

.

und die entsprechende Summenformel (laut Lösung) soll heißen:

\sum_{n = 0}^{\infty} {(- 1)}^{n} (n + 1) {(x - 1)}^{n}

Danke für deine Hilfe!

anonymous

14:57 Uhr, 21.06.2014

Zunächst einmal ist

1 - 2 (x - 1) + 3 {(x - 1)}^{2} - 4 {(x - 1)}^{3} + ...

nur eine andere (im Grunde schlechte) Schreibweise

\sum_{n = 0}^{\infty} {(- 1)}^{n} (n + 1) {(x - 1)}^{n}

.

Schlecht deshalb, da man eigentlich nicht weiß, wie das nächste Summenglied lautet. Eigentlich muss nämlich mit

... + 5 {(x - 1)}^{4} + ...

fortgesetzt werden, was aber mit dieser Pünktchenschreibweise nicht hundertprozentig klar ist. Schließlich könnte das nächste Glied, hätte man nur diese Pünktchenschreibweise, auch

... + 3 {(x - 1)}^{4} + ...

lauten.

Im Grunde muss man sich beim Umschreiben solch einer Summe von Pünktchenschreibweise, klarmachen, wie die Summengleider zusammenhängen. In diesem Fall könnte einem auffallen, dass sich bei den Summannden das Vorzeichen wechselt (daher

{(- 1)}^{n})

eine Potenz

{(x - 1)}^{n}

auftaucht und ein Vorfaktor

(n + 1)

auftaucht der immer 1 größer ist, als der Exponent von

{(x - 1)}^{n}

. So könnte man auf

\sum_{n = 0}^{\infty} {(- 1)}^{n} (n + 1) {(x - 1)}^{n}

kommen. Jedoch könnte man, hätte man nur die Pünktchenschreibweise zur Verfügung auch andere Bildungsgesetze annehmen und daher auf andere Summen kommen.

- -

Nun geht es ja im Grunde um die Taylor-Entwicklung von

\frac{1}{x^{2}}

um den Entwicklungspunkt

x_{0} = 1

.
Für eine analytische Funktion

f

und einen Entwicklungspunkt

x_{0}

gilt:

f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{(n)} (x_{0})}{n!} \cdot {(x - x_{0})}^{n}

wobei

f^{(n)}

die

n

-te Ableitung von

f

bezeichnet, und

n \neq \prod_{k = 1}^{n} k = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot n

Im Fall

f (x) = \frac{1}{x^{2}} = x^{- 2}

ist:

f^{(0)} (x) = f (x) = x^{- 2}

f^{(1)} (x) = f' (x) = - 2 \cdot x^{- 3}

f^{(2)} (x) = f'' (x) = (- 2) \cdot (- 3) \cdot x^{- 4}

f^{(3)} (x) = (- 2) \cdot (- 3) \cdot (- 4) \cdot x^{- 5}

⋮

f^{(n)} (x) = {(- 1)}^{n} \cdot (n + 1)! \cdot x^{- (n + 2)}

Das

f^{n}

kann man sehen (wenn man es nicht sicht wird es schwierig) und dann, wenn nötig über vollständige Induktion beweisen.

Dann ist:

f^{(n)} (1) = {(- 1)}^{n} \cdot (n + 1)!

Dann erhält man mit der Taylor-Entwicklung um

x_{0} = 1 :

\frac{1}{x^{2}} = f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{(n)} (x_{0})}{n!} \cdot {(x - x_{0})}^{n} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n} \cdot (n + 1)!}{n!} \cdot {(x - 1)}^{n} = \sum_{n = 0}^{\infty} {(- 1)}^{n} \cdot (n + 1) \cdot {(x - 1)}^{n}

Im Grunde läuft es also auch darauf hinaus das Bildungsgesetz für

f^{(n)}

geschickt zu erraten (wobei man dieses dann, wenn man richtig geraten hat über vollständige Induktion beweisen kann).

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1173969

1173958

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?