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Textaufgabe mit einer quadratischen Funktion lösen

Schüler Gymnasium,

Tags: Parabel, Quadratische Funktion, Textaufgabe

Sejkey aktiv_icon

22:23 Uhr, 20.12.2011

Hallo,
ich muss eine Textaufgabe mithilfe einer quadratischen Funktion lösen, allerdings habe ich irgendwie Probleme dabei.
Es geht um eine Veranstaltung, zu der

200

Besucher für einen Ticketpreis von 8€ kommen. Bei einer Preisermäßigung von 0,50€ kommen jeweils

20

Besucher mehr.
Bei 7,50€ sind es

220

Besucher usw.
Nun soll ich den Ticketpreis bestimmen, der die maximalen Einnahmen einbringt.
Mit einer quadratischen Funktion. Wäre sehr nett, wenn mir jemand auf die Sprünge helfen könnte..

Mit freundlichen Grüßen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Quadratische Funktionen (Mathematischer Grundbegriff)
Quadratische Ergänzung
Parabel (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Aus Funktionsgleichung Skizze erkennen
Aus Skizze Funktionsgleichung ablesen
Schnittpunkt mit der y-Achse bestimmen
Schnittpunkte zweier Parabeln bestimmen
Schnittpunkte zwischen Parabel und Gerade bestimmen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Beispiele zur quadratischen Ergänzung

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oder

n = - 2

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Wie bestimmt man zu einer gegebenen Parabel die Funktionsgleichung?

pleindespoir aktiv_icon

22:33 Uhr, 20.12.2011

zunächst mal :
wie lautet der mathematische Zusammenhang zwischen Ticketpreis und Besucherandrang ?

Sejkey aktiv_icon

22:39 Uhr, 20.12.2011

Ich verstehe leider nicht so ganz was du meinst

\frac{:}{}

Mich verwirrt die Aufgabe gerade, ich verstehe echt nicht wie ich sie mit einer quadratischen Funktion lösen soll.

pleindespoir aktiv_icon

22:42 Uhr, 20.12.2011

Damit sie Dich entwirrt, sollst Du ja auch in kleinen überschaubaren Schrittchen vorgehen - der erste ist eben der oben erwähnte:

Wie lautet die Funktion Besucherzahl in Abhängigkeit vom Ticketpreis ?

Sejkey aktiv_icon

22:50 Uhr, 20.12.2011

Leider ist das nicht gerade so leicht für mich..
ich habe bisher einfach immer den Umsatz berechnet, also
8€

\cdot 200 =

1600€
7,50€

\cdot 220 =

1650€
7,00€

\cdot 240 =

1680€
usw.

Dann habe ich versucht den Umsatz an die Y-Aschse des Koordinatensystems zu machen und den Ticketpreis für die X-Achse.
Dann habe ich die Werte im Koordinatensystem eingetragen, so bekam ich eine Parabel..

Irgendwie kommt mir das alles aber falsch vor..

pleindespoir aktiv_icon

22:54 Uhr, 20.12.2011

Das ist dann der zweite Schritt - schon richtig.

Vom Weg her aber komplizierter, weil Du jetzt einige Punkte hast, aus der Du die Parabelfunktion rekonstruieren musst.

Mach mal so wie ich sage - ist meine ich leichter eingängig.

Sejkey aktiv_icon

23:00 Uhr, 20.12.2011

Ich kriege leider wirklich keine Funktion hin.. könntest du mir vielleicht ein paar Tipps geben? Ich krieg´s sonst nicht hin..

Edit:
Diese Funktion soll doch dazu dienen, dass ich für

X z . B

. einfach 4€ einsetze und dann ganz leicht

Y

(Besucherzahl) ausrechnen kann, oder?
Nur ich weiß nicht wie.. könntest du mir vielleicht die Lösung dafür sagen

\frac{:}{}

DmitriJakov aktiv_icon

23:15 Uhr, 20.12.2011

Vielleicht, wenn ich kurz helfen darf. Du warst gar nicht so weit weg von der richtigen Lösung. Nur brauchst Du vorher einen Zwischenschritt:

Das Verhältnis von Ticketpreis und Besucherzahl ist hier eine Konstante. Das heisst mit anderen Worten: In einem Koordinatensystem mit der Anzahl von Besuchern (bzw. verkauften Tickets) auf der x-Achse und dem Preis auf der y-Achse, ist dieses Verhältnis eine Gerade. Und zwar eine fallende Gerade.

Einen solchen Zusammenhang nennt man Nachfragefunktion oder auch Preis-Absatz-Funktion.

Rechne diese Geradengleichung mal aus. Dann hast Du

p (x)

(wenn x=Zahl der Besucher ist).

Der Umsatz ist dann Preis mal Menge, also

p (x) \cdot x

. Und das wird dann Deine quadratische Funktion werden, die Du maximieren kannst.

Sejkey aktiv_icon

23:35 Uhr, 20.12.2011

Danke dir wirklich für deine Antwort, aber irgendwie habe ich es wirklich nicht geschafft. Ich habe die ganze Zeit darüber nachgedacht.. komme aber einfach nicht irgendwie auf die Lösung. Könnte sie mir jemand vielleicht nennen bitte, ich muss schon längst im Bett sein, um morgen früh aufstehen zu können.
Würde die Aufgabe aber gerne vorher noch fertig im Heft stehen haben.
Wäre wirklich sehr dankbar, auch wenn das dieser Person nichts bringt..

\frac{:}{}

DmitriJakov aktiv_icon

23:46 Uhr, 20.12.2011

Gesucht ist die Funktion für den Ticketpreis

p (x) = m \cdot x + b

.

Bei

x = 200

Besucher ist

p (200) = 8

. Es gilt also:

8 = m \cdot 200 + b

Bei

x = 220

Besuchern ist der Preis

p (220) = 7,50

Es gilt also:

7,5 = m \cdot 220 + b

Das sind nun 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten. Ich subtrahiere nun die erste Gleichung von der zweiten:

8 = m \cdot 200 + b

7,5 = m \cdot 220 + b

0,5 = 200 m - 220 m

0,5 = m \cdot (- 20)

m = - \frac{1}{40}

eingesetzt im

8 = 200 \cdot m + b

ergibt:

8 = 200 \cdot (- \frac{1}{40}) + b

8 = - 5 + b

b = 13

Daraus folgt:

p (x) = - \frac{1}{400} x + 13

Und der Umsatz ist dann:

U (x) = p (x) \cdot x = (- \frac{1}{40} x + 13) \cdot x = - \frac{1}{40} x^{2} + 13 x

Das ist nun die quadratische Funktion. Finde ihren Scheitelpunkt durch die erste Ableitung oder durch quadratische Ergänzung.

Sejkey aktiv_icon

00:43 Uhr, 21.12.2011

Ich habe nun eine quadratische Ergänzung ausprobiert:

- \frac{1}{40}

x²

+ 13 x = 0 | : - \frac{1}{40}

x²

- 520 x = 0

(p:2)²

= (- 520 : 2) 2 = 67600

x²

- 520 x = 0 | + 67600

x²

- 520 x + 67600 = 0

(x -

260)²

= 67600

Ist das denn richtig? Wie geht es denn weiter?

: O

DANKE dir für deine sehr große Hilfe!!

DmitriJakov aktiv_icon

07:37 Uhr, 21.12.2011

Hab nicht viel Zeit, deswegen nur so viel:

Du darfst nicht einfach schreiben:

- \frac{1}{40} x^{2} + 13 x = 0,

denn das ist nicht die Funktion. Du musst

- \frac{1}{40}

ausklammern, und dann sieht das so aus:

U (x) = - \frac{1}{40} (x^{2} - 520 x)

U (x) = - \frac{1}{40} (x^{2} - 520 x + 260^{2} - 260^{2})

U (x) = - \frac{1}{40} ({(x - 260)}^{2} - 260^{2})

U (x) = - \frac{1}{40} {(x - 260)}^{2} - 260^{2} \cdot (- \frac{1}{40})

U (x) = - \frac{1}{40} {(x - 260)}^{2} + 1690

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