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Textaufgabe zu Parabeln

Schüler Gymnasium,

Tags: Parabel, Scheitelpunkt, Schnittpunkt

donnie aktiv_icon

18:05 Uhr, 29.09.2012

Hallo,

ich komme hier nicht weiter, daher würde ich gerne etwas Unterstützung gebrauchen.

Aufgabe:

Hochspannungsstromleitungen werden aus Kostengründen gerne oberirdisch verlegt $(d . h$ . ein Stromkabel wird über Strommasten geleitet). Dabei hängt das Stromkabel immer in Form einer Parabel nach unten durch. Jede Stromleitung muss eine Mindesthöhe von $12 m$ über dem Boden haben.

Wir haben folgende Situation:

Zwei Strommasten sind $20 m$ hoch und liegen $400 m$ auseinander, das zwischen ihnen verlaufende Kabel kann durch eine Parabel beschrieben werden, wenn man den Urpsrung des Koordinatensystems an einem Masten legt.

$a)$ Fertige eine Skizze der gegebenen Situation an.

$b)$ Ein Mobilfunkunternehmen möchte einen $17 m$ hohen Sendemasten $50 m$ von dem ersten Strommast entfernt aufstellen. Überprüfe, ob der Mast mit seiner Spitze oberhalb oder unterhalb der Stromleitung liegen wird, wenn man die Situation mithilfe der Funktion $f (x) = \frac{1}{5001} \cdot x^{2} - \frac{3}{25} \cdot x + 20$ modeliert.

Lösung:

Ich würde mal sagen, der Scheitelpunkt der ersten Stromleitung ist $(0; 12)$ . Oder? Anschließend könnte man ja davon ableiten, die Scheitelpunktform wäre dann $f (x) = x^{2} + 12$

Bei Aufgabe $b)$ komme ich schon nicht mehr weiter. Muss doch jetzt einfach in die Scheitelpunktform kommen? Ich kann auch nicht so gut ausklammern.

$\frac{1}{5001} \cdot x^{2} - \frac{3}{25} \cdot x + 20 = 0$

$F (x) (\frac{1}{5001}) = [x^{2} - \frac{1500}{25} \cdot x + 100020]$

$(\frac{1}{5001}) = [x^{2} - 2 \cdot x - \frac{3}{50} - \frac{3}{50^{2}} + \frac{3}{50^{2}} + 100020]$
$(\frac{1}{5001}) \cdot {(x - \frac{3}{50})}^{2} + \frac{1667001}{83350}$

Irgendwie kann das doch nicht stimmen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Schnittpunkte bestimmen
Quadratische Funktionen (Mathematischer Grundbegriff)
Parabel (Mathematischer Grundbegriff)
Quadratische Ergänzung

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform)
Lineare Gleichungssysteme
Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Nullstellen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

pleindespoir aktiv_icon

18:29 Uhr, 29.09.2012

a) Fertige eine Skizze der gegebenen Situation an.

wo ist die ?

Atlantik aktiv_icon

18:38 Uhr, 29.09.2012

a)Ich habe das Koordinatensystem anders gelegt. Bei mir liegt der Scheitel der Parabel bei

$S (0 | 12)$

Somit hat die Parabel die Form $f (x) = a \cdot x^{2} + 12$

Die Größe von a kannst du nun leicht durch Einsetzen eines der beiden Fixpunkte ausrechnen.

mfG

Atlantik

donnie aktiv_icon

18:45 Uhr, 29.09.2012

Danke. Auf die erste Parabel bin ich auch gekommen. Allerdings, komme ich auf die zweite nicht.

Wie meinst du das mit den Fixpunkten von a? Mit dem Formfaktor a verendert sich die Gestalt der Parabel, also von gestreckte bis gestauchte Parabel. Aber ich verstehe nicht, wie ich die zweite Parabel mit einbziehen soll?

Atlantik aktiv_icon

18:51 Uhr, 29.09.2012

a)Du hast als Lösung $f (x) = x^{2} + 12$ Das wäre eine Normalparabel, die nach oben verschoben ist. Die Parabel muss aber an den Strommasten aufgehängt werden. Der Aufhängepunkt hat die Koordinaten $(200 | 20)$ .
Den Wert musst du nun in $f (x) = a \cdot x^{2} + 12$ einsetzen.

mfG

Atlantik

donnie aktiv_icon

19:01 Uhr, 29.09.2012

Achso Danke. Dann wäre das also, $20 = 200^{2} + 12$

$20 = 40012 (/ 20)$

$= \frac{10003}{5}$

Oder?

Atlantik aktiv_icon

19:14 Uhr, 29.09.2012

Jetzt sehe ich gerade, dass die Stromleitungsaufgabe mit der 2. Aufgabe zusammenhängt.

Dann muss das Koordinatensystem doch so gelegt werden, wie in der Aufgabe beschrieben ist.
Du hast nun die Form $f (x) = a \cdot {(x - x_{S})}^{2} + 12$ .

Scheitelform:

$f (x) = \frac{1}{5001} \cdot x^{2} - \frac{3}{25} x + 20 | \cdot 5001$

$5001 \cdot f (x) = x^{2} - \frac{15003}{25} x + 100020 | - 100020$

$5001 \cdot f (x) - 100020 = x^{2} - \frac{15003}{25} x |$ Nun die quadratische Ergänzung ${(\frac{15003}{50})}^{2}$ auf beiden Seiten addieren:

$5001 \cdot f (x) - 100020 + {(\frac{15003}{50})}^{2} = x^{2} - \frac{15003}{25} x + {(\frac{15003}{50})}^{2}$

$5001 \cdot f (x) - 9983,9964 = x^{2} - \frac{15003}{25} x + {(\frac{15003}{50})}^{2}$ Jetzt das 2. Binom

$5001 \cdot f (x) - 9983,9964 = {(x - \frac{15003}{50})}^{2} | + 9983,9964$

$5001 \cdot f (x) = {(x - \frac{15003}{50})}^{2} + 9983,9964 | : 5001$

$f (x) = \frac{1}{5001} {(x - \frac{15003}{50})}^{2} + 1,9964$

$f (x) = \frac{1}{5001} {(x - 300,06)}^{2} + 1,9964$

mfG

Atlantik

Atlantik aktiv_icon

19:20 Uhr, 29.09.2012

$f (x) = a \cdot x^{2} + 12$

$f (200) = a \cdot 200^{2} + 12$

$a \cdot 200^{2} + 12 = 20 | - 12$

$a \cdot 200^{2} = 8$

$a = \frac{8}{40000} = \frac{1}{5000}$

mfG

Atlantik

donnie aktiv_icon

17:10 Uhr, 30.09.2012

Danke erstmal. Aber ich verstehe nicht, wie du auf diese Gleichung kommst.

a(x-xs)^2+18

Und warum Xs?

Atlantik aktiv_icon

19:17 Uhr, 30.09.2012

$x_{S}$ ist die $x$ -Koordinate des Scheitels der verschobenen Parabel.

mfG

Atlantik

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