Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » beweis sin15 = 1/4(Wurzel6 - Wurzel2)

beweis sin15 = 1/4(Wurzel6 - Wurzel2)

Universität / Fachhochschule

Sonstiges

Tags: Beweis, Gleichschenkliges Dreieck, hallo Leute, Sin60 und Sin45 sind kein problem mit gleichseitigem, Sinus

kanyarain aktiv_icon

16:47 Uhr, 24.10.2009

hallo leute , ich bin neu hier und ich hoffe, dass ihr meine frage / problem versteht. Ich soll beweisen, dass sinus

15

Grad = 0,25(Wurzel6 - Wurzel2) . Mit Hilfe eines gleichseitigen dreiecks ist es kein problem,

sin 30

Grad, bzw. sin 60Grad herzuleiten, im gleichschenkligem Dreieck auch kein problem

sin 45

Grad herzuleiten, wie aber kommt man dann auf sinus

15

Grad.

Vielen Dank für Eure Ideen und Unterstützung

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige trigonometrische Werte
Additionstheoreme
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Sinus und Kosinus für beliebige Winkel

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

arrow30

17:00 Uhr, 24.10.2009

30 = 15 + 15

kanyarain aktiv_icon

06:39 Uhr, 26.10.2009

15 + 15 = 30

gilt aber nicht für Winkelwerte

! sin 15 + sin 15

ist NICHT

sin 30

Grad ,

arrow30

09:31 Uhr, 26.10.2009

aber sin(30)=sin(15+15) und cos(30)=cos(15+15)

sin(x+x)=sinxcosx+sinxcosx=2sinxcosx

cos(x+x)=cos²(x)-sin²(x)

kanyarain aktiv_icon

07:55 Uhr, 02.11.2009

danke für die hilfe , ist aber laut meinen dozenten immer noch nicht gezeigt / hergeleitet, dass

sin 15 =

0,25*(wurzel6 - wurzel

2),

wie muss man

sin 30

grad entsprechend einsetzen. Sorry, ich stehe in dieser frage total auf der leitung. Es wäre nett, wenn die antwort konkreter ausfallen könnte, danke nochmals

DK2ZA aktiv_icon

09:12 Uhr, 02.11.2009

In der Formelsammlung findest du

sin (2 \cdot α) = 2 \cdot sin (α) \cdot cos (α)

Also

sin (2 \cdot 15) = 2 \cdot sin (15) \cdot cos (15)

sin (30) = 2 \cdot sin (15) \cdot cos (15)

\frac{1}{2} = 2 \cdot sin (15) \cdot cos (15)

Da der Winkel kleiner ist als 90° kann man den

cos

ersetzen:

\frac{1}{2} = 2 \cdot sin (15) \cdot \sqrt{1 - {(sin (15))}^{2}}

\frac{1}{4} = sin (15) \cdot \sqrt{1 - {(sin (15))}^{2}}

Quadrieren:

\frac{1}{16} = {(sin (15))}^{2} \cdot (1 - {(sin (15))}^{2})

\frac{1}{16} = {(sin (15))}^{2} - {(sin (15))}^{4}

Substitution

u = {(sin (15))}^{2}

\frac{1}{16} = u - u^{2}

u^{2} - u = - \frac{1}{16}

u^{2} - u + {(\frac{1}{2})}^{2} = - \frac{1}{16} + {(\frac{1}{2})}^{2}

{(u - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{3}{16}

u_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{4}

u_{2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{4}

u_{1}

ist zu verwerfen, da

{(sin (15))}^{2}

kleiner sein muss als

{(sin (30))}^{2} = \frac{1}{4}

.

Also Resubstitution:

{(sin (15))}^{2} = u_{2}

{(sin (15))}^{2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{4}

sin (15) = \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{4}}

sin (15) = \frac{1}{4} \cdot \sqrt{16 \cdot (\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{4})}

sin (15) = \frac{1}{4} \cdot \sqrt{8 - 4 \cdot \sqrt{3}}

Nun bleibt noch zu zeigen, dass

\sqrt{8 - 4 \cdot \sqrt{3}} = \sqrt{6} - \sqrt{2}

Beide Seiten quadrieren (beide Seiten sind positiv, also ok):

8 - 4 \cdot \sqrt{3} = 6 - 2 \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{2} + 2

8 - 4 \cdot \sqrt{3} = 8 - 2 \cdot \sqrt{12}

8 - 4 \cdot \sqrt{3} = 8 - 2 \cdot \sqrt{4 \cdot 3}

8 - 4 \cdot \sqrt{3} = 8 - 2 \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{3}

8 - 4 \cdot \sqrt{3} = 8 - 4 \cdot \sqrt{3}

stimmt!

GRUSS, DK2ZA

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

669938

664880

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?