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Analysis, Funktionsgleichung,Parabel,Extrema

Schüler Gesamtschule, 13. Klassenstufe

Tags: Extrema, Funktionsgleichung, Parabel

BonRom aktiv_icon

20:02 Uhr, 21.03.2016

Ich bitte um ein Überprüfung der Ergebnisse hinsichtlich mathematische Richtigkeit.
1.See
Gegeben sin die Funktionen

f

durch die Funktionsgleichung

f (x)

=x³-6*x²+8*x und

g

als Parabel mit dem Scheitel

S (3 | 0,5)

und einer Nullstelle bei

x = 2

.
Die Graphen von

f

und

g

begrenzen für

2_{<} x_{<} 4

einen See: Der Graph von

g

stellt das nördliche Ufer dar, der von

f

das südliche (LE=1km)

a)Bestimmen Sie eine Funktionsgleichung von

g

.Kontrolle

: g (x)

=-1/2*x²

+ 3 \cdot x - 4

Parabelform:

f (x)

=a*x²+b*x+c; Scheitelform: a*(x-d)²+e

a*(x-3)²+0,5; 0=a*(2-3)²+0,5;

a = - 0,5;

-0,5*(x-3)²+0,5; -0,5x²+3x-4

b)

Zeigen Sie, dass

N (2 | 0)

gemeinsamer Punkt von

f

und

g

ist.
Bestimmen Sie die weiteren Nullstellen von

f

und

g

N \in f (x)

dann in

g (x)

eingesetzt;

0 = 0 w . A

N

ist ein gemeinsamer Punkt.
Nullstelle:

g (x) = 2; 4

f (x) = 0; 2; 4

.

c)Bestimmen Sie die Extrema näherungsweise.
Skizzieren Sie den Graphen von

f

für

0 < x < 5

. Tragen Sie auch die Parabel

g

ein.

d)

Wie lange ist der See vom nördlichsten bis zum südlichsten Endpunkt in Metern

d = 1,96

LE.
e)Wie groß ist die Seeoberfläche?
Integral von

2 - 4 f (x) - g (x) = 23,33

f)

Im Punkt

N (2 | 0)

befindet sich Start und Ziel eines Schwimm-Lauf Wettkampfes. Die zu bewältigende Strecke soll längs eines gleichseitigen Dreiecks verlaufen. Zunächst wird vom Start längs der

x

Achse bis zum östlichen Ufer geschwommen. Dann wird über einen nördlich des Sees abgesteckten Umkehrpunkt zurück zum Ziel gelaufen. Bestimmen Sie die Koordinaten des Umkehrpunktes.

Mein Ansatz wäre, von 2 gekennzeichnet denn Anfangs und Endpunkt, 4 ist östliche Ufer also die Länge von eine

d

. drei Seiten von Dreieck soll 2 LE sein

d . h

. bei einer "gleichseitigen Dreieck" sind alle 2 LE lang. Das Gipfel muss sich mittle

d

. Strecke zwischen 2 und 4 sein also 3 und 2 LE von 2 oder 4 entfernt, daraus ergibt sich

d

. Punkt

P (3 | 1,5)

. ist es möglich

d

. letzte Schritt rechnerisch zu darstellen?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Extrema (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Quadratische Funktionen (Mathematischer Grundbegriff)
Parabel (Mathematischer Grundbegriff)
Quadratische Ergänzung

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen
Extrema / Terrassenpunkte
Hyperbeln
Potenzfunktionen - Fortgeschritten
Schnittpunkte zweier Parabeln bestimmen
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Stephan4

21:57 Uhr, 21.03.2016

Abstand von

(3 | 1,5)

(2 | 0)

sollte 2 sein.
Aber:

\sqrt{1^{2} + {1,5}^{2}} \neq 2

Nicht richtig.

Richtig:
Abstand von

(3 | y_{P})

(2 | 0)

ist:

\sqrt{1^{2} + {(y_{P})}^{2}} = 2

y_{P} = \sqrt{3}

:-)

BonRom aktiv_icon

18:32 Uhr, 22.03.2016

Und wie soll ich den nördlichsten Punkt ausrechnen ?

Roman-22

19:33 Uhr, 22.03.2016

>

Und wie soll ich den nördlichsten Punkt ausrechnen ?
Sieh dir mal die beigefügte Grafik an. Vielleicht gelingt es dir dann, die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seitenlänge 2 zu ermitteln. Stephan4 hat es dir ja ohnedies bereits vorgerechnet.

Leider sind deine Ergebnisse von

d)

und

e)

auch nicht richtig.
Der Abstand bei

d)

ist viel zu klein, die Fläche bei

e)

viel zu groß (und wird auch nicht in Längeneinheiten angegeben.
Der Rechengang, soweit in deiner etwas eigenwilligen Schreibweise erkennbar, ist richtig und die Funktion

g (x)

hast du ja auch richtig. Keine Ahnung, welchen Fehler du da beim Integrieren gemacht hast. Und wie du auf den nördlichsten und vor allem auf den südlichsten Punkt kommst, um dann deren Distanz zu ermitteln, hast du leider gleich gar nicht verraten.
Wenn du Lust hast, kannst du ja deine Rechnung hier rein stellen. Vielleicht hat dann jemand Lust, deine Fehler zu suchen.
Zu deiner Kontrolle die richtigen Ergebnisse zu

d)

und

e) :

d) d = \sqrt{\frac{4 \cdot \sqrt{3}}{9} + \frac{1303}{108}} k m \approx 3,583 k m

e) A_{S e e} = \frac{14}{3} k m^{2} \approx 4,667 k m^{2}

Du kannst dir diese Ergebnisse ja auch durch Abmessen auf der Zeichnung bzw. durch Kästchen abzählen plausibel machen.

R

Atlantik aktiv_icon

19:39 Uhr, 22.03.2016

"Und wie soll ich den nördlichsten Punkt ausrechnen ?"

->Die Graphen von

f

und

g

begrenzen für

2 < x < 4

einen See: Der Graph von

g

stellt das nördliche Ufer dar, der von

f

das südliche (LE=1km)

Der nördlichste Punkt ist der Scheitelpunkt der Parabel

g (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + 3 x - 4

1.Möglichkeit:Extremwert von

g (x)

bestimmen

2. Möglichkeit : Umformung auf die Scheitelpunktform der Parabel:

Allgemein:

y = a \cdot {(x - x_{S})}^{2} + y_{S}

Umformung einer beliebigen Parabel in ihre Scheitelpunktform:

y = - 3 \cdot x^{2} + 5 x + 8 | : (- 3)

\frac{y}{- 3} = x^{2} - \frac{5}{3} x - \frac{8}{3} | + \frac{8}{3}

\frac{y}{- 3} + \frac{8}{3} = x^{2} - \frac{5}{3} x | + q . E . {(\frac{- \frac{5}{3}}{2})}^{2} = {(- \frac{5}{6})}^{2} = \frac{25}{36}

\frac{y}{- 3} + \frac{8}{3} + \frac{25}{36} = x^{2} - \frac{5}{3} x + \frac{25}{36}

\frac{y}{- 3} + \frac{8}{3} + \frac{25}{36} = {(x - \frac{5}{6})}^{2}

Nun nach

y

auflösen.

mfG

Atlantik

PS: Ich hatte gemeint , dass der nördlichste Punkt des Sees gesucht wird.

Roman-22

20:42 Uhr, 22.03.2016

>

PS: Ich hatte gemeint , dass der nördlichste Punkt des Sees gesucht wird.
Brav! Aber der war mit

(3 / 0,5)

bereits in der Angabe gegeben. Wozu also das Ganze schon wieder?

Gemeint war der nördlichste Punkt des Dreiecks und den hat

i . W

. Stephan4 schon berechnet.

Gib doch bitte mal dem Fragesteller erstmal die Chance, auf gegebene Antworten und Hinweise zu reagieren! In der Zwischenzeit hättest du dann Gelegenheit, Angabe und bereits gegebene Antworten genauer zu studieren.

Der Fragesteller hat, anstelle diesen Thread erst zu Ende zu verfolgen, vor Kurzem drei neue Aufgaben reingestellt. Wenn ihr euch beeilt, könnt ihr die gleich komplett vorrechnen. Wer will Erster sein?

R

BonRom aktiv_icon

00:25 Uhr, 23.03.2016

Warum der Abstand zwischen

P (3 | 1,5)

und

N (2 | 0),

Anfang Punkt/Ziel ist

N (2 | 0)

und östliche Ufer (Nullstelle von

f

und

g)

soll

P (4 | 0)

sein. √(4-2)² =√2

Roman-22

00:33 Uhr, 23.03.2016

\sqrt{{(4 - 2)}^{2}} \neq \sqrt{2}

Und der Rest deiner "Frage" (sollte das eine sein?) ist leider völlig unverständlich. Versuchs mal mit ganzen, vollständigen Sätzen.

R

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