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Extremwertaufgabe Maximaler Flächeninhalt Dreieck

Schüler Gymnasium,

Tags: Dreieck, Extremwertaufgabe, Flächeninhalt, Maximal, Parabel

Karamelek aktiv_icon

00:18 Uhr, 10.12.2016

Gesucht ist die maximale Fläche eines Dreiecks ABC unter einer Parabel .

F (x) = (\frac{1}{3}) x 2 - (\frac{16}{3}) x + 5

Gegeben :

Punkt

A (1 | 0)

und

B (13 | - 8)

C

soll so liegen , dass das Dreieck einen maximalen Flächeninhalt erhält .

Ich bräuchte sehr schnell Hilfe ! Vielen Dank jetzt schon mal !
Bitte nur einen kompletten Lösungsweg , damit ich dann selbst nachvollziehen kann .

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Quadratische Funktionen (Mathematischer Grundbegriff)
Parabel (Mathematischer Grundbegriff)
Quadratische Ergänzung

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächeninhalt und Umfang eines Dreiecks
Flächeninhalte
Flächenmessung
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Stephan4

01:43 Uhr, 10.12.2016

Fläche des Dreiecks, das von 2 Vektoren aufgespannt ist:

A = \frac{| \vec{a} \times \vec{b} |}{2} = \frac{x_{a} \cdot y_{b} - y_{a} \cdot x_{b}}{2}

\vec{a} = \vec{A B} = (\begin{matrix} 12 \\ - 8 \end{matrix}); \vec{b} = \vec{A P} = (\begin{matrix} x - 1 \\ F (x) - 0 \end{matrix})

A = 0,5 (12 \cdot F (x) + 8 \cdot (x - 1)) = 6 F (x) + 4 x - 4

A' = 6 F' (x) + 4 = 0 ... \to x = 7 u n d A = - 16

A'' = 4 > 0 \to min

Da hier die Betragstriche weg gelassen wurden, kann eine negative Fläche rauskommen, die maximal wird, wenn man sie in Betragstriche setzt.
Also

max A = 16

Wenn der Parabelpunkt allerdings jenseits von A und

B

liegt, geht die Fläche ins Unendliche.

Die gefundene Lösung gilt also nur für Parabelpunkte zwischen A und B. Aber vielleicht hast Du das nur mitzuteilen vergessen.

:-)

Karamelek aktiv_icon

09:22 Uhr, 10.12.2016

DANKE !

Atlantik aktiv_icon

14:55 Uhr, 12.12.2016

"Also:

m a x A =

16"

Da ist was verkehrt aufgeschrieben

Alternative Berechnung:

p : y = \frac{1}{3} x^{2} - \frac{16}{3} x + 5

A (1 | 0)

und

B (13 | - 8)

g : y = - \frac{2}{3} x + \frac{2}{3}

p

geschnitten mit

g

\frac{1}{3} x^{2} - \frac{16}{3} x + 5 = - \frac{2}{3} x + \frac{2}{3} | \cdot 3

x^{2} - 16 x + 15 = - 2 x + 2

x^{2} - 14 x = - 13 | + q . E . {(\frac{- 14}{2})}^{2} = 49

x^{2} - 14 x + 49 = - 13 + 49

{(x - 7)}^{2} = 36

x_{1} = 7 + \sqrt{36}

x_{2} = 7 - \sqrt{36}

->Berührpunkt

C

der Tangente an die Parabel mit

C (7 | - 16)

Dreieck

A B C

ist maximal: Die Fläche A beträgt

72 F E

mfG

Atlantik

G r a p h e n :

Stephan4

20:08 Uhr, 12.12.2016

OK, dann muss ich

F (x) = - 16

statt

A = . .

.
schreiben.

Danke für Deinen Hinweis, Atlantik.

Es geht doch nichts über eine Skizze zur Kontrolle :-)

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