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Funktionsuntersuchung(Exponentialfunktion)

Schüler Gesamtschule, 13. Klassenstufe

Tags: Ableitungsfunktion, monoton fallend, monoton steigend, Schnittpunkt

SiniT aktiv_icon

15:53 Uhr, 29.01.2010

H a l l o i c h h a b e M a t h e a l s 4 . F a c h u n d m u s s d a h e r i n d i e m ü n d l i c h e P r ü f u n g!

Ich habe ein paar Schwierigkeiten und benötige dringend Hilfe!

Gegeben ist die Funktion: f mit f(x)=(x+1)*e^-x

a)Geben sie die Teilbereiche von R an,in denen die Funktion f monoton wächst bzw.fällt und untersuchen sie den Graphen von f auf Extrempunkte.

b)Zeigen sie,dass die Graphen f und f´ genau einen Schnittpunkt S haben und geben sie seine Koordinaten an.
Prüfen sie rechnerisch,ob sich die beiden Funktionsgraphen im Punkt S rechtwinklig schneiden

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Schnittpunkte bestimmen

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform)
Lineare Gleichungssysteme
Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Nullstellen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

danie aktiv_icon

16:41 Uhr, 29.01.2010

Versuche doch mal die erste Ableitung zu machen, da musst du die Produktregel anwenden,
u(x)= (x+1) und v(x)=

e^{- x}

f´(x)=u´(x)*v(x)+v`(x)*u(x)

SiniT aktiv_icon

17:19 Uhr, 29.01.2010

also wäre die Ableitung wenn ich die Produktregel anwenden würde:

f´(x)= x*e^x+e^-x*x+1 ?

Alx123 aktiv_icon

17:27 Uhr, 29.01.2010

Hallo,
zu Aufgabe a)
Also:

f (x) = (x + 1) e^{- x}

\Rightarrow f' (x) = - x e^{- x}

man erkennt sofort das gilt:

f' (0) = 0

f' (x) < 0 \forall x > 0

f' (x) > 0 \forall x < 0

\Rightarrow

f hat also bei

x = 0

ein Maximum und ist für

x < 0

monoton steigend, für

x > 0

monoton fallend.

b) Es ist erstmal zu überprüfen, wann gilt:

f' (x) = f (x)

\overset{}{\Leftrightarrow} - x e^{- x} = (x + 1) e^{- x}

\overset{}{\Leftrightarrow} x = \frac{1}{2}

\Rightarrow f (- \frac{1}{2}) = f' (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} e^{\frac{1}{2}}

\Rightarrow S = (- \frac{1}{2}, \frac{1}{2} e^{\frac{1}{2}})

Die Allgemeine Tangentengleichung lautet:

t_{f} (x) = f (x_{0}) + f' (x_{0}) (x - x_{0})

Für

f

mit

x_{0} = - \frac{1}{2}

gilt:

t_{f} (x) = \frac{1}{2} e^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} + x)

Für f' muss man noch die zweite Ableitung berechnen:

f ″ (x) = e^{- x} (x - 1)

\Rightarrow f ″ (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{2} e^{\frac{1}{2}}

\Rightarrow t_{f}' (x) = \frac{1}{2} e^{\frac{1}{2}} (- 3 x - \frac{1}{2})

betrachte jetzt:

\vec{t_{f} (x)} = (\binom{x}{\frac{1}{2} e^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} + x)})

und

\vec{t_{f}' (x)} = (\binom{x}{\frac{1}{2} e^{\frac{1}{2}} (- 3 x - \frac{1}{2})})

diese sind orthogonal wenn das Skalarprodukt 0 ist.

SiniT aktiv_icon

17:37 Uhr, 29.01.2010

Hi,danke für die Mühe:-),aber 2 Fragen hätte ich da noch!

1)Ich weiss trotzdem nicht wie ich die die Monotonie ganz genau berechne!?

2)Wie berechnet man in diesem Falle das Skalarprodukt?

danie aktiv_icon

17:37 Uhr, 29.01.2010

Nein,
u´(x)=1
v´(x)=

e^{- x}

*(-1) (nach der kettenregel,

e^{- x}

bleibt so stehen, mal die Ableitung des exponenten, also von -x, daher die -1)
also hast du:
f´(x)= 1*

e^{- x}

e^{- x}

*(-1)*(x+1)
dies kannst du vereinfachen, die -1*(x+1) kannst du ausrechnen, dann ist
f´(x)=1*

e^{- x}

e^{- x}

*(-x-1)
dann kannst du das

e^{- x}

ausklammern, dann hast du
f´(x)=

e^{- x}

*(1-x-1)
also
f´(x)=

e^{- x}

*(-x)

SiniT aktiv_icon

17:52 Uhr, 29.01.2010

jetzt habe ich es verstanden:-D)
dankeschön

SiniT aktiv_icon

18:16 Uhr, 29.01.2010

wie muss ich denn jetzt weiter vorgehen?

Alx123 aktiv_icon

18:28 Uhr, 29.01.2010

1)Wenn du eine Funktion auf Monotonie untersuchen willst, also überprüfen willst wo sie steigt fällt oder konstant ist, ist es natürlich ratsam mit der Ableitung dieser Funktion zu arbeiten, da diese im jedem Punkt das Steigungsverhalten der Funktion angibt. Wenn man also eine Funktion

f

gegeben hat und die Ableitung

f'

dann betrachtet man die Ableitung und es gilt:

f

ist überall dort monoton steigend wo

f' (x) \geq 0

f

ist überall dort monoton fallend wo

f' (x) \leq 0

und für

f' (x) = 0

ist sie natürlich konstant.

Also wenn man die Ableitung

f' (x) = - x e^{- x}

betrachtet, sieht man sofort das diese Funktion ein Produkt ist.

e^{- x}

ist immer positiv und

- x

natürlich nicht und bei

x = 0

ist die Ableitung

0

.
Also ist die Ableitung für alle negativen Zahlen positiv und für alle positiven Zahlen negativ. Damit hast du das Steigungsverhalten.

2) Das Skalarprodukt der Vektoren

\vec{a} = (\binom{a_{1}}{a_{2}})

und

\vec{b} = (\binom{b_{1}}{b_{2}})

ist

\vec{a} \vec{b} = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2}

SiniT aktiv_icon

18:47 Uhr, 29.01.2010

die 1) habe ich jetzt verstanden danke aber mit der 2) komme ich nich nicht ganz zurecht!Gibt es einen anderen weg?oder könntetst du mir die genauen rechenschritte nochmal zeigen?!

SiniT aktiv_icon

18:58 Uhr, 29.01.2010

Eine Frage hätte ich doch noch zu der 1) wie kommt man denn auf die 1/2?

Alx123 aktiv_icon

20:38 Uhr, 29.01.2010

Du kannst ja auch mit dem Taschenrechner überprüfen ob die 2 Geraden nicht orthogonal sind.
Die allgemeine lineare Gleichung lautet ja:

f (x) = m x + b

,wobei m die Steigung ist und es gilt auch

m = t a n (α)

,also kannst du durch die Steigung den Winkel zwischen der Funktion und der x-Achse ermitteln. Das machst du also für

t_{f} (x)

und

t_{f}' (x)

. Die Gleichungen der Funktionen hast du ja schon. Wenn du dann die 2 Winkel hast müsste die Differenz der Winkel exakt 90 Grad betragen (wenn sie orthogonal wären, sind sie aber nicht),da du den Taschenrechner benutzt kannst du ja sowieso wenn dann nur das Gegenteil beweisen. Ich habe dort ca. 118Grad raus.

Welche

\frac{1}{2}

BjBot aktiv_icon

20:58 Uhr, 29.01.2010

Für das Prüfen ob zwei Tangenten (Geraden) senkrecht zueinander stehen braucht man lediglich die Bedingung, dass das Produkt ihrer Steigungen dann -1 beträgt.
Hier muss man also nur f '(-0.5) * f ''(-0.5) ungleich -1 zeigen und das wars.

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