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Grenzwert Sinus-Hyperbolicus und Sinus

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Grenzwert, Sinus, Sinushyperbolicus

EllB98 aktiv_icon

11:16 Uhr, 04.02.2018

Hallo,

ich sitze derzeit an einer Aufgabe, von der ich wirklich nicht weiß wie ich sie lösen soll:

Zeigen Sie:

\frac{(s i n h (s i n x) - s i n (s i n h x))}{x^{7}} = \frac{1}{45}

Ich habe bereits die Defintion von sinh in die Funktion eingesetzt. Dann sieht man zwar, dass der Zählerterm gegen 0 geht für

x \to 0

, aber das alleine bringt mir ja recht wenig.

Danke im Voraus für Antworten.

Liebe Grüße
EllB99

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
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Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
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Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
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DrBoogie aktiv_icon

11:29 Uhr, 04.02.2018

Ich würde Taylor-Reihen versuchen.

anonymous

13:16 Uhr, 04.02.2018

Randbemerkung, auch wenn's vielleicht nur eine Formalität ist:

So wie du's hingeschrieben hast, ist es auf jeden Fall falsch.

\frac{sinh (sin (x)) - sin (sinh (x))}{x^{7}}

ist nicht gleich

\frac{1}{45}

Möglicherweise ist

lim_{x \to 0} \frac{sinh (sin (x)) - sin (sinh (x))}{x^{7}} = \frac{1}{45}

Respon

13:24 Uhr, 04.02.2018

Für die Reihenentwicklung benötigst du nur jeweils 3 Glieder.

s i n h (sin (x)) = x - \frac{x^{5}}{15} + \frac{x^{7}}{90} . .

sin (s i n h (x)) = x - \frac{x^{5}}{15} - \frac{x^{7}}{90} . .

.
Durch die Differenz fallen die beiden ersten Glieder weg.
Division durch

x^{7}

Beim

l i m

gehen alle Glieder mit Exponenten

> 7

gegen 0.

\Rightarrow

lim_{x \to 0} \frac{...}{x^{7}} = \frac{1}{90} + \frac{1}{90} = \frac{1}{45}

EllB98 aktiv_icon

14:18 Uhr, 04.02.2018

@kreadoor: Ja, natürlich hab ich das gemeint, tut mir leid ;-) Da mein Beitrag beim ersten Mal schreibe irgendwie verloren gegangen ist, musste ich ihn nochmal schreiben und hab das in der Eile wohl vergessen. Danke ;-)

@Respon: Vielen Dank! Auf die Idee wäre ich zwar nicht gekommen, aber das leuchtet mir ein ;-) Dankeschön :-)

Respon

14:20 Uhr, 04.02.2018

Das hat oben schon Dr.Boogie vorgeschlagen.

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