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Grenzwert von Winkelfunktionen

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Grenzwerte

Tags: Cosinus, Grenzwert, lim, Rationale Funktionen, Sinus, Trigonometrie, Winkelfunktion

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piesenrimmel

piesenrimmel aktiv_icon

17:56 Uhr, 07.07.2015

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Hallo Community,
ich bin gerade dabei Grenzwertberechnungen zu Üben, was mir bisher nie so gut lag, gerade bei Winkelfunktionen komm ich häufig nicht weiter, wie jetzt gerade, deshalb hoffe ich jemand kann mir einen Ansatz für folgende Funktion geben:

Lim

x \to 0 \frac{x^{2} - x \cdot sin 2 x}{1 - {cos}^{2} x} =

Lim

x \to 0 \frac{x^{2} - x \cdot sin 2 x}{{sin}^{2} x}

ich bitte um Hilfe, und bedanke mich schon einmal im vorraus.
Falls dann noch jemand so nett wär und mir ein paar Tricks bzw. ein Schema erläutern könnte, wie man bei solchen Aufgaben vorgeht, wär ich sehr dankbar

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige trigonometrische Werte
Additionstheoreme
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie
Kosinus (Mathematischer Grundbegriff)
Tangens (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
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Ableiten mit der h-Methode
Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
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Antwort

abakus

18:00 Uhr, 07.07.2015

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Antwort

anonymous

anonymous

18:11 Uhr, 07.07.2015

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L'Hospital kann man anwenden, würde ich hier aber eher nicht empfehlen. Ich würde eher folgenden Weg vorschlagen:

Es ist

sin (2 x) = 2 \cdot sin (x) \cdot cos (x)

.

\frac{x^{2} - x \cdot sin (2 x)}{{sin}^{2} (x)}

= \frac{x^{2} - x \cdot 2 \cdot sin (x) \cdot cos (x)}{{sin}^{2} (x)}

= \frac{x^{2}}{{sin}^{2} (x)} - 2 \cdot \frac{x \cdot sin (x)}{{sin}^{2} (x)} \cdot cos (x)

= {(\frac{x}{sin (x)})}^{2} - 2 \cdot \frac{x}{sin (x)} \cdot cos (x)

Bedenke nun, dass

lim_{x \to 0} \frac{sin (x)}{x} = 1

ist.

piesenrimmel

piesenrimmel aktiv_icon

18:15 Uhr, 07.07.2015

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\frac{(x^{2} - x \cdot sin 2 x)'}{({sin}^{2} x)'} = \frac{2 x - x \cdot (2 cos 2 x \cdot sin 2 x)}{2 \cdot cos x \cdot sin x}

= \frac{2 x - x \cdot (2 cos 2 x)}{2 \cdot cos x \cdot sin x} \cdot \frac{2 \cdot cos x \cdot sin x}{2 cos x \cdot sin x}

= \frac{2 x - x \cdot (2 cos 2 x)}{2 \cdot cos x \cdot sin x}

so ?

Antwort

abakus

18:23 Uhr, 07.07.2015

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Nein, zur Ableitung von x*sin(2x) musst du schon auch die Produktregel verwenden.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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