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Grenzwerte & Eigenschaften

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Ableitungsfunktion, Funktion, Grenzwert, Konkav, konvex, Monotonie

 
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mariem

mariem aktiv_icon

23:42 Uhr, 29.03.2020

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Hallo,

ich will folgende Aussagen zeigen.

Sei f: differentierbar (oder zweimal differentierbar).

1. Es gilt dass limx+f(x)= (oder limx-f(x)=), und f ist konvex (oder konkav), also es gilt dass limx+(oder\x-)

Dann ist f streng monoton.

2. Wenn limx+fʺ(x) existiert, dann limx+fʺ(x)=limx+fʹ(x)=0 (also wir behaupten nicht dass limx+fʹ(x) existiert).



Ich habe folgendes gemacht:

1. Da die f konvex ist, gilt es dass f(x)f(y)+fʹ(y)(x-y). Wir betrachten den Grenzwert wenn x+ geht und bekommen:
f(x)f(y)+fʹ(y)(x-y)limx+f(x)limx+(f(y)+fʹ(y)(x-y))f(y)+fʹ(y)(limx+x-y)
f(y)+fʹ(y)(+-y)

Da reell sein muss, muss man eine undefiniert Form haben oder etwas negatives, da wir auf der rechte Seite + haben. Also muss fʹ(y)0 sein.

Sodass f streng monoton ist, müssten wir fʹ(y)<0 bekommen, oder nicht?

Was habe ich fasch gemacht?


2. Könnt ihr mir ein Tipp geben?
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Monotonieverhalten (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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pwmeyer

pwmeyer aktiv_icon

11:11 Uhr, 30.03.2020

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Hallo,

ich würde nicht so salopp mit dem Symbol hantieren. Ich würde es so sagen:

Sei f konvex und f(x)l für x. Dann gilt für beliebiges y:

x:f(x)f(y)+f'(y)(x-y)=:h(x)

Annahme: f'(y)>0. Dann ist h eine streng monoton wachsende Gerade, also folgt f(x) für x. Im Widerspruch zur Voraussetzung.

Den 2. Punkt habe ich noch nicht verstanden. Wie wäre es da mit f(x):=x? Vielleicht postest Du mal das Original.

Gruß pwm
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