Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Herleitung des Integrals (als Limes von O oder U)

Herleitung des Integrals (als Limes von O oder U)

Schüler Allgemeinbildende höhere Schulen, 11. Klassenstufe

Tags: Grenzwert, Herleitung, Integral, Obersumme, Untersumme

Antworten

Neue Frage stellen

Im Forum suchen

Neue Frage

rammi182

rammi182 aktiv_icon

19:17 Uhr, 15.11.2009

Antworten

Hallo,

Das Integral kann man Mithilfe des Grenzwertes der Ober- bzw. Untersumme herleiten, wenn man die Intervallbreite gegen 0 gehen lässt. Theoretisch ist mir das sonneklar, doch sobald ich das an einem praktischen Beispiel anwenden muss, scheitere ich!
Deswegen die Bitte ob mir nicht schnell jemand folgendes Beispiel durchrechnen kann:

f(x)=2x²+1 im Intervall [0;2]

$O_{n} = \frac{2}{n} * (f (\frac{2}{n}) + f (2 \cdot \frac{2}{n}) + f (3 \cdot \frac{2}{n}) + ... + f (n \cdot \frac{2}{n})$

soweit stimmt das noch, oder?

Jetzt soll ich $\lim_{n \to \infty} O_{n}$ ausrechnen! - Nur da scheitert es!

Wäre echt toll wenn mir jemand dieses Beispiel einfach Schritt für Schritt durchrechnen könnte.

Danke schonmal!

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
e-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Ableitung an einer Stelle

Wie bestimmt man die Ableitung

f' (x)

f (x)

x_{0}

?

Berechnung eines Flächenstücks

Wie bestimmt man eine Fläche mit dem Integral?

Wie bestimmt man die Fläche zwischen dem Graphen einer Funktion, der x-Achse und zwei Grenzen a und b?

Grenzwert einer Funktion

Wie bestimmt man den Grenzwert einer Funktion?

Grenzwert mit l'Hospital bestimmen

Wie bestimmt man einen Grenzwert mit der Regel von l'Hospital?

Wie bestimmt man einen Grenzwert, bei dem

\frac{0}{0}

\frac{\infty}{\infty}

herauskommt?

Herleitung der Kreiszahl Pi

Wie kann man die Kreiszahl

π

herleiten?

Herleitung: Ableitung der Kosinusfunktion

Wie leitet man die Kosinusfunktion ab?

Herleitung: Ableitung der Sinusfunktion

Wie leitet man die Sinusfunktion ab?

Herleitung: Ableitung der Tangensfunktion

Wie leitet man die Tangensfunktion ab?

Integrieren mit Substitution

Wie integriert man mithilfe der Substitution?

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades durch?

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades durch?

Stammfunktion einer Exponentialfunktion

Wie bestimmt man eine Stammfunktion einer Exponentialfunktion?

Stammfunktion einer Logarithmusfunktion

Wie bestimmt man eine Stammfunktion einer Logarithmusfunktion?

Stammfunktion einer Polynomfunktion

Wie bestimmt man eine Stammfunktion einer Polynomfunktion?

Wie bestimmt man eine Stammfunktion einer ganzrationalen Funktion?
Wie bestimmt man eine Stammfunktion einer Potenzfunktion?

Stammfunktion einer gebrochen-rationalen Funktion

Wie bestimmt man eine Stammfunktion einer gebrochen-rationalen Funktion?

Online-Nachhilfe in Mathematik

Antwort

hagman

hagman aktiv_icon

12:47 Uhr, 16.11.2009

Antworten

Zunächst die eizelnen Summanden

f (k \cdot \frac{2}{n})

bestimmen:

f (k \cdot \frac{2}{n}) = 2 \cdot {(k \cdot \frac{2}{n})}^{2} + 1 = \frac{8}{n^{2}} \cdot k^{2} + 1

Diese Werte jetzt für

k = 1,2, ..., n

summieren, ergibt

\sum_{k = 1}^{n} f (k \cdot \frac{2}{n}) = \sum_{k = 1}^{n} (\frac{8}{n^{2}} \cdot k^{2} + 1)

= \sum_{k = 1}^{n} \frac{8}{n^{2}} \cdot k^{2} + \sum_{k = 1}^{n} 1

n

gleiche Sumanden 1 ergeben zusammen

n;

und in der ersten Summe kann der gemeinsame Faktor

\frac{8}{n^{2}}

ausgeklammert werden:

= \frac{8}{n^{2}} \cdot \sum_{k = 1}^{n} k^{2} + n

Die Formel für die Summe der ersten

n

Quadratzahlen sollte bekannt sein

= \frac{8}{n^{2}} \cdot \frac{n \cdot (n + 1) \cdot (2 n + 1)}{6} + n

= \frac{4 \cdot (n + 1) \cdot (2 n + 1)}{3 n} + n

Um auf

O_{n}

zu kommen, muss das jetzt nur noch mit

\frac{2}{n}

multipliziert werden, ergibt

O_{n} = \frac{2}{n} \cdot (\frac{4 \cdot (n + 1) \cdot (2 n + 1)}{3 n} + n)

= \frac{8}{3} \cdot \frac{(n + 1) \cdot (2 n + 1)}{n^{2}} + 2

678772

678466