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Kreis in Parabel mit max. Radius

Universität / Fachhochschule

Sonstiges

Tags: Kreis, Maximal, Parabel, Radius, Sonstig

KikiS

21:17 Uhr, 13.05.2018

Guten Abend,

ich habe eine Frage zur Analytischen Geometrie in vektorieller Darstellung:

Bestimmen Sie die Gleichung des Kreises, der im Inneren der Parabel

y = x^{2}

liegt, diese Parabel im Punkt

(0,0)

berührt, keinen anderen gemeinsamen Punkt mit ihr hat und den maximalen Radius besitzt.

Mein Ansatz:

y = x^{2}

Kreis:

x^{2} + {(y - b)}^{2} = b^{2}

Da der Mittelpunkt des Kreises

M (0, b)

ist, ergibt sich auch der Radius

r = b^{2},

der maximal sein soll. So kommt die Formel von oben zustande.

x^{2} = y

in Kreis einsetzen:

y + y^{2} - 2 b y + b^{2} - b^{2} = 0

y^{2}

-2by

+ y = 0

y^{2} - y (2 b - 1) = 0

y (y - (2 b - 1)) = 0

\Rightarrow y = 0 \lor y - 2 b - 1 = 0

y = 2 b - 1

y = x^{2} = \Rightarrow 2 b - 1 = x^{2}

x = \sqrt{2 b - 1}

\Rightarrow 2 b - 1 = 0

= \Rightarrow b = \frac{1}{2}

Stimmt das so? Habe ich damit gezeigt, dass mein Radius maximal ist?

Danke für Eure Hilfe :-)

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rundblick aktiv_icon

21:58 Uhr, 13.05.2018

.
Tipp:

schau dich mal um zum Thema

\to

"Scheitelkrümmungskreis der Parabel"

.

KikiS

22:47 Uhr, 13.05.2018

Hallo, danke für Deine Antwort.

Hab bei Wikipedia ( de.wikipedia.org/wiki/Krümmungskreis unter Beispiele

3.2

so in etwa meine Aufgabe gefunden.

Dementsprechend würde es dann so aussehen:

f (x) = x^{2}

f' (x) = 2 x

f'' (x) = 2

und für den Krümmungsradius an der Stelle

x_{0}

erhält man:

r = | \frac{{[1 + f' {(x)}^{2}]}^{\frac{3}{2}}}{f'' (x)} |

.
Daraus erhalte ich ebenfalls

r = 0,5,

wie auch schon oben berechnet.

Reicht das auch aus für den Beweis, dass der Radius maximal ist?
Es müsste ja bewiesen sein, da mein Radius des Kreises

b = 0,5

beträgt und der Krümmungsradius der Parabel

r = 0,5

ist. Damit muss mein Kreisradius maximal sein; er darf nicht größer als

0,5

werden, da sonst ein weiterer Schnittpunkt zwischen Parabel und Kreis enstehen würde außer dem

(0,0)

.

Kann ich so argumentieren?

Atlantik aktiv_icon

14:09 Uhr, 14.05.2018

Oder so

y = x^{2}

und

x^{2} + {(y - u)}^{2} = u^{2}

zum Schnitt bringen:

x^{2} + {(x^{2} - u)}^{2} = u^{2}

x^{2} + x^{4} - 2 u x^{2} + u^{2} = u^{2}

x^{2} + x^{4} - 2 u x^{2} = 0

x^{2} (1 + x^{2} - 2 u) = 0

x_{1} = 0

x^{2} = 2 u - 1

x_{1,2} = \pm \sqrt{2 u - 1}

Diskriminante

= 0

u = \frac{1}{2}

k : x^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{1}{4}

mfG

Atlantik

KikiS

18:17 Uhr, 15.05.2018

Hallo Atlantik,
erstmal Danke für Deine Antwort.
Deine Rechnung habe ich soweit verstanden.

Reicht es, den maximalen Radius des Kreises durch Diskriminante

= 0

zu zeigen? Ist das schon alles?

Atlantik aktiv_icon

19:45 Uhr, 15.05.2018

Die Kreisgleichung war gesucht und ist gefunden. Das ist alles.

mfG

Atlantik

KikiS

17:11 Uhr, 16.05.2018

Hallo Atlantik,
ich danke Dir für die Hilfe bei der Aufgabe. Du hast mir sehr geholfen.

Liebe Grüße

1426823

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