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Kreis in Parabel mit max. Radius

Universität / Fachhochschule

Sonstiges

Tags: Kreis, Maximal, Parabel, Radius, Sonstig

 
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KikiS

KikiS

21:17 Uhr, 13.05.2018

Antworten
Guten Abend,

ich habe eine Frage zur Analytischen Geometrie in vektorieller Darstellung:


Bestimmen Sie die Gleichung des Kreises, der im Inneren der Parabel y=x2 liegt, diese Parabel im Punkt (0,0) berührt, keinen anderen gemeinsamen Punkt mit ihr hat und den maximalen Radius besitzt.


Mein Ansatz:
y=x2
Kreis: x2+(y-b)2=b2 Da der Mittelpunkt des Kreises M(0,b) ist, ergibt sich auch der Radius r=b2, der maximal sein soll. So kommt die Formel von oben zustande.

x2=y in Kreis einsetzen:

y+y2-2by+b2-b2=0
y2 -2by +y=0

y2-y(2b-1)=0
y(y-(2b-1))=0
y=0y-2b-1=0
y=2b-1

y=x2=2b-1=x2
x=2b-1
2b-1=0
=b=12

Stimmt das so? Habe ich damit gezeigt, dass mein Radius maximal ist?

Danke für Eure Hilfe :-)




Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kreiszahl (Mathematischer Grundbegriff)
Kreis (Mathematischer Grundbegriff)
Elementare Kreisteile (Mathematischer Grundbegriff)
Quadratische Funktionen (Mathematischer Grundbegriff)
Parabel (Mathematischer Grundbegriff)
Quadratische Ergänzung

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Antwort
rundblick

rundblick aktiv_icon

21:58 Uhr, 13.05.2018

Antworten

.
Tipp:

schau dich mal um zum Thema "Scheitelkrümmungskreis der Parabel"

.
KikiS

KikiS

22:47 Uhr, 13.05.2018

Antworten
Hallo, danke für Deine Antwort.

Hab bei Wikipedia ( de.wikipedia.org/wiki/Krümmungskreis unter Beispiele 3.2 so in etwa meine Aufgabe gefunden.

Dementsprechend würde es dann so aussehen:

f(x)=x2
f'(x)=2x
f''(x)=2

und für den Krümmungsradius an der Stelle x0 erhält man: r=|[1+f'(x)2]32f''(x)|.
Daraus erhalte ich ebenfalls r=0,5, wie auch schon oben berechnet.

Reicht das auch aus für den Beweis, dass der Radius maximal ist?
Es müsste ja bewiesen sein, da mein Radius des Kreises b=0,5 beträgt und der Krümmungsradius der Parabel r=0,5 ist. Damit muss mein Kreisradius maximal sein; er darf nicht größer als 0,5 werden, da sonst ein weiterer Schnittpunkt zwischen Parabel und Kreis enstehen würde außer dem (0,0).

Kann ich so argumentieren?

Antwort
Atlantik

Atlantik aktiv_icon

14:09 Uhr, 14.05.2018

Antworten
Oder so
y=x2 und x2+(y-u)2=u2 zum Schnitt bringen:

x2+(x2-u)2=u2

x2+x4-2ux2+u2=u2

x2+x4-2ux2=0

x2(1+x2-2u)=0

x1=0

x2=2u-1

x1,2=±2u-1

Diskriminante =0

u=12

k:x2+(y-12)2=14

mfG

Atlantik



KikiS

KikiS

18:17 Uhr, 15.05.2018

Antworten
Hallo Atlantik,
erstmal Danke für Deine Antwort.
Deine Rechnung habe ich soweit verstanden.

Reicht es, den maximalen Radius des Kreises durch Diskriminante =0 zu zeigen? Ist das schon alles?

Antwort
Atlantik

Atlantik aktiv_icon

19:45 Uhr, 15.05.2018

Antworten
Die Kreisgleichung war gesucht und ist gefunden. Das ist alles.

mfG

Atlantik
Frage beantwortet
KikiS

KikiS

17:11 Uhr, 16.05.2018

Antworten
Hallo Atlantik,
ich danke Dir für die Hilfe bei der Aufgabe. Du hast mir sehr geholfen.

Liebe Grüße