Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Kreisradius an Parabel berechnen?!

Kreisradius an Parabel berechnen?!

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Analysis, Differentialrechnung, Kreis, Normalparabel, Parabel, Radius

mathe29 aktiv_icon

18:06 Uhr, 07.11.2009

Hallo alle zusammen!
ich muss eine aufgabe lösen: Berechnen sie den radius des kreises.
und zwars liegt der kreis in einer Normalparabel, also f(x)=x².
als einziges gegebnes ist der mittelpunkt des kreises

\to M (0; 3)

.
hab aufgabe schon per geogebra gelöst, muss aber einen lösungsweg haben.
Lösung:

r = 1.66

(ungefähr)
würde die aufgabe mit der Tangente und dann normale lösen, aber wie?
Ich bitte um Hilfe!
danke euch!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kreiszahl (Mathematischer Grundbegriff)
Kreis (Mathematischer Grundbegriff)
Elementare Kreisteile (Mathematischer Grundbegriff)
Quadratische Funktionen (Mathematischer Grundbegriff)
Parabel (Mathematischer Grundbegriff)
Quadratische Ergänzung

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Grundbegriffe der ebenen Geometrie
Kreis und Mittelsenkrechte
Kreis: Umfang und Flächeninhalt
Kreise und Lagebeziehungen

Grundbegriffe der ebenen Geometrie
Kreis und Mittelsenkrechte
Kreis: Umfang und Flächeninhalt

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Bogenmaß und Gradmaß eines Winkels

Was ist der Unterschied zwischen Bogenmaß und Gradmaß eines Winkels?

Die Parameter der Scheitelpunktform einer Parabel

Für was stehen die Parameter der Scheitelpunktform einer Parabel?

Elementare Kreisteile

Wie berechne ich den Flächeninhalt eines Kreissegments und eines Kreissektors?

Flächeninhalt eines Kreisrings

Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Kreisrings?

Funktionsgleichung einer Parabel bestimmen

Wie bestimmt man die Funktionsgleichung einer Parabel?

Kreis - Umfang und Inhalt

Wie berechne ich den Umfang und Flächeninhalt eines Kreises?

Kreiszahl Pi

Für was steht die Zahl

π

und was bringt sie mir?

Nullstellen einer Potenzfunktion bestimmen

Wie bestimmt man die Nullstellen einer Potenzfunktion wenn der Exponent

n = 2

oder

n = - 2

ist?

Scheitelpunkt einer Parabel bestimmen

Wie bestimmt man den Scheitelpunkt einer Parabel?

Schnitt Gerade - Parabel

Wie bestimmt man die Schnittpunkte zwischen einer Parabel und einer Geraden?

Schnitt Parabel - Parabel

Wie bestimmt man die Schnittpunkte zwischen zwei Parabeln?

Schnitt Parabel - Koordinatenachsen

Wie bestimmt man die Schnittpunkte einer Parabel mit den Koordinatenachsen?

Verschiebung einer Normalparabel

Was passiert wenn man eine Normalparabel in

x

oder y-Richtung verschiebt?

Was passiert mit dem Schaubild einer Normalparabel wenn man die Funktionsgleichung verändert?

Zu einer Parabel die Funktionsgleichung bestimmen

Wie bestimmt man zu einer gegebenen Parabel die Funktionsgleichung?

BjBot aktiv_icon

18:51 Uhr, 07.11.2009

Einfach Parabelterm in Kreisgleichung einsetzen:

x²+(y-3)²=r² ----> x²+(x²-3)²-r²=0 <=> x^4-5x²+9-r²=0

Substituiere x²=z

z²-5z+9-r²=0 <=>

z_{1, 2} = \frac{5}{2} \pm \sqrt{\frac{25}{4} - 9 + r ²}

Die Diskriminante muss null werden damit es hier genau eine und damit insgesamt genau zwei Lösungen (gemeinsame Punkte) nach dem resubstituieren gibt.

Damit ergibt sich r=

\frac{\sqrt{11}}{2}

Die negative Lösung kann vernachlässigt werden, da es keine negativen Radien gibt.

mathe29 aktiv_icon

21:29 Uhr, 07.11.2009

erst einmal dankeschön!
aber wir hatten das mit der kreisgleichung noch nicht dran...
kannst du/kann jemand mir das mit einer normalen erklären?
--siehe Geogebra-Datei-- (die rote strecke

b

ist der radius)

BjBot aktiv_icon

22:43 Uhr, 07.11.2009

Nagut, wie der Herr wünscht ;-)

Die Steigung an der Berührstelle xb ist nach der 1. ABleitung 2xb
Damit ist die Steigung der Normalen an dieser Stelle -1/(2xb)
Da die Normale zusätzlich durch (0|3) verlaufen soll lautet die Normalengleichung damit

y = - \frac{1}{2 x_{b}} \cdot x + 3

An der Stelle xb haben Normale und Parabel denselben Funktionswert, damit gilt dann:

- \frac{1}{2 x_{b}} \cdot x_{b} + 3 = x_{b}^{2}

<=>

x_{b} = \pm \sqrt{\frac{5}{2}}

Der Punkt A in deiner Skizze lautet also

A (\sqrt{\frac{5}{2}} ∣ \frac{5}{2})

Mit Pythagoras kannst du dann die Entfernung von A zu M einfach ausrechnen und kommst auf dasselbe Ergebnis wie oben.

mathe29 aktiv_icon

22:51 Uhr, 07.11.2009

danke, danke!
nun habe ich es in 2 versionen kapiert.
viel spaß dir noch!

BjBot aktiv_icon

23:05 Uhr, 07.11.2009

Freut mich dass du es verstanden hast =)

Zur Belohnung gibts dann auch noch ne 3. Variante zum Nachtisch ;-)
Die Entfernung des Punktes M und A muss ja quasi minimal werden wenn der Kreis die Parabel berühren soll.
Allgemein kann man A auch als Punkt der Parabel schreiben, also A(x|x²)
Die Entfernung dieser beiden Punkte kann man nun auch wieder mit Pythagoras berechnen und das Ergebnis hängt dann von x ab.
Da man ja wissen will für welches x dieser Wurzelterm dann minimal wird (minimale Entfernung von M und A) muss man dann den Tiefpunkt bestimmen.
Es bietet sich dann an die Wurzel einfach wegzulassen weil auch der quadrierte Term dieselben Extremstellen besitzt.

mathe29 aktiv_icon

16:26 Uhr, 08.11.2009

das hab ich mir auch schon per geogebra gedacht gehabt. hatte das mit einem schieberegler ausprobiert. naja, ich werd nun den 2 weg benutzen!
noch mal vielen dank!
echt gutes forum!

673659

673117

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?