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Kurven Schnittpunkt Winkel und Rotation

Schüler Allgemeinbildende höhere Schulen,

Tags: Dreieck, Funktion, Integral, Integration, Kurve, Rotation, Schnittpunkt, Schnittwinkel, volum

KaiserKarl1887 aktiv_icon

11:40 Uhr, 15.04.2014

Gegeben sind die beiden Kurven:

k 1 : y^{2} = 4 \cdot (x + 3)

und

k 2 : y^{2} = 16 \cdot (2 - x)

a)

Unter welchem Winkel schneiden einander die Kurven?

b)

Das von beiden Kurven eingeschlossene Flächenstück rotiert um die x-Achse; wie groß ist das dabei entstehende Volumen?

c)

Die Tangenten in einem der Schnittpunkte und die x-Achse bilden ein Dreieck, dass sich um die x-Achse dreht. Vergleiche dieses Rotationsvolumen mit dem aus

b)

.

Die Schnittpunkte beider Funktionen:

\sqrt{4 x + 12} = \sqrt{32 - 16 x}

\²

4 x + 12 = 32 - 16 x

20 x = 20

x = 1

S 1 (1; 4)

S 2 (1; - 4)

Wie berechne ich mur nun jedoch den Schnittwinkel zwischen zwei Funktionen?

b) π \cdot \int {(f (x))}^{2} d x

k 1 : π \cdot \int

(zwischen

- 3; 2) ({\sqrt{4 \cdot (x + 3)}}^{2} d x =

π \cdot (\frac{4 x^{2}}{2} + 12 x)

18 - 36 = - 18

8 + 24 = 32

32 - (- 18) = 50 \cdot π

k 2 : π \cdot \int

(zwischen-3;2)

{(\sqrt{16 \cdot (2 - x)})}^{2}

π \cdot (- \frac{16 x^{2}}{2} + 32 x)

- 72 - 96 = - 168

- 32 + 64 = 32

32 - (- 168) = V

V = 200 \cdot π

V

gesamt:

π \cdot (200 - 50) = 150 \cdot π

c)

funktioniert nun ähnlich.

Meine Frage ist nun jedoch, wie ich mir

a)

berechnen kann.
Velen Dank im Voraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Schnittpunkte bestimmen
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen
Flächeninhalt und Umfang eines Dreiecks
Flächeninhalte
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform)
Lineare Gleichungssysteme

Einführung Funktionen
Flächeninhalt und Umfang eines Dreiecks
Flächeninhalte
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Eva88 aktiv_icon

11:58 Uhr, 15.04.2014

Bilde für die Funktionen jeweils die Tangenten im Schnittpunkt mit der ersten Ableitung.

tan α = | \frac{m_{1} - m_{2}}{1 + m_{1} \cdot m_{2}} |

KaiserKarl1887 aktiv_icon

17:41 Uhr, 15.04.2014

Dies wäre dann:

S (1; 4)

f (x) = \sqrt{4 x + 12}

f' (x) = \frac{2}{\sqrt{4 x + 12}}

Steigung

k : \frac{2}{\sqrt{4 + 12}} = \frac{2}{4} = 0,5

d : 4 = 0,5 \cdot 1 + d

d = 3,5

t 1 : y = 0,5 \cdot x + 3,5

f (x) = \sqrt{32 - 16 x}

f' (x) = - \frac{8}{\sqrt{32 - 16 x}}

k : - \frac{8}{\sqrt{16}} = - \frac{8}{4} = - 2

d : 4 = - \frac{8}{4} \cdot 1 + d

d = 6

t 2 : y = - 2 x + 6

Nun in die Formel einsetzen:

tan α = \frac{k 1 - k 2}{1 + k 1 \cdot k 2}

\Rightarrow tan α = \frac{0,5 - (- 2)}{1 + 0,5 \cdot - 2}

tan α = \frac{2,5}{0}

Ds bedeutet sie schneiden einander im Rechtenwinkel

\Rightarrow 90

anonymous

09:21 Uhr, 16.04.2014

Zwei Anmerkungen:

1. Brauchst Du für den Schnittwinkel - wie man an Evas Formel sieht - nur die Steigungen und nicht die vollen Tangenten (Du brauchst sie aber ohnehin für

c),

oder?).

2. Sind "Steigungen" (~die zugehörigen Geraden) orthogonal (rechtwinklig), wenn ihre Steigungen "negativ reziprok" sind, will sagen, "Kehrwert und Vorzeichenänderung".

Es stimmt also alles, denn

m_{1} = \frac{1}{2}

und

m_{2} = - 2

sind "negativ reziprok" - die Tangenten also orthogonal.

Respon

09:41 Uhr, 16.04.2014

Bezüglich Winkel: implizites Differenzieren geht eventuell schneller ( falls bekannt )

y^{2} = 4 \cdot x + 12

\Rightarrow

2 \cdot y \cdot y' = 4

\Rightarrow

y' = \frac{2}{y}

\Rightarrow

y'_{(y = 4)} = \frac{1}{2}

y^{2} = 32 - 16 \cdot x

\Rightarrow

2 \cdot y \cdot y' = - 16

\Rightarrow

y' = - \frac{8}{y}

\Rightarrow

y'_{(y = 4)} = - 2

Da neg. reziprok

. .

. ( siehe oben )

Respon

10:10 Uhr, 16.04.2014

b)

Die Grenzen des zweiten Integrals sollten bei 1 und 2 liegen.

KaiserKarl1887 aktiv_icon

22:12 Uhr, 17.04.2014

Danke ;-)

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