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Kurvendiskussion

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Kurvendiskussion, Stammfunktion

yanii18 aktiv_icon

15:34 Uhr, 14.01.2010

Hallo liebe Mitglieder,

vielleicht könntet ihr mir bei meiner Hausaufgabe helfen. Es geht um Kurvendiskussion und Änderungsraten. Danke im Vorraus! :-)

Aufgabe:
Gegeben ist die Funktion

f (x) = 2 x \cdot e^{- 0,5} x

(das

x

soll als Exponent oben stehen),

- 1 < x < 8

a)

Führen Sie eine Kurvendiskussion durch (Nullstellen, Extrema, Wendepunkte, Graph). Zeigen Sie außerdem, dass

F (x) = (- 4 x - 8) \cdot e^{- 0,5} x

eine Stammfunktion von

f

ist.

b)

Für

2 < x < 8

stellt der Graph von

f

das Profil eines künstlichen Skihügels dar. Dabei entspreche einer Längeneinheit eine reale Strecke von

100 m

.
Wie hoch ist die Abfahrtskurve an ihrem höchsten bzw. an ihrem tiefsten Punkt? Wie groß ist die maximale Steigung auf der Abfahrt? Welche Querschnittsläche hat der Skihügel?

c)

Bestimmen Sie näherungsweise diejenige Stelle, an welcher der Skihügel aus Aufgabenteil

b)

ca.

100 m

hoch ist.

Liebe Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kurvendiskussion (Mathematischer Grundbegriff)
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Stammfunktion
ln-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

pleindespoir aktiv_icon

00:23 Uhr, 15.01.2010

a) Führen Sie eine Kurvendiskussion durch (Nullstellen, Extrema, Wendepunkte,

Was hast du davon schon gemacht? Bitte zeige Deine Ergebnisse/Ansätze.

Steffen0123 aktiv_icon

00:34 Uhr, 15.01.2010

Ich hab erstmal nen "Plan" erstellt, wie du vorgehen musst, kannst ja noch schreiben, falls irgendwas unklar ist oder so.

AUFGABE A

Also erstmal die Nullstellen bei Aufgabe

a)

"einfach"

f (x) = 0

setzen und dann durch

e^{- 0,5 x}

dividieren, dann siehst du, dass du eine Nullstelle bei

x = 0

hast.

Für die Extrema und Wendepunkte musst du 3mal ableiten.
Dazu nimmst du die Produktregel

(f' (x) = u' v + u v')

Dann setzt du die erste Ableitung Null und bekommst einen x-Wert. Den setzt du dann in die zweite Ableitung ein und guckst, ob dein Ergebnis größer, oder kleiner null ist. Bei

f'' (x) < 0

handelt es sich um einen Hochpunkt, bei

f'' (x) > 0

um einen Tiefpunkt.

Für die Wendepunkte setzt du dann die zweite Ableitung null und stellst nach

x

um. Dann guckst du, was passiert, wenn du dein Ergebnis in die dritte Ableitung einsetzt, ist

f''' (x) \neq 0

handelt es sich um einen Wendepunkt, bei

f''' (x) = 0

um einen Sattelpunkt.

Um zu zeigen, dass

F (x)

eine Stammfunktion ist, musst du sie einfach ableiten und evt. so umformen, dass du auf

f (x)

kommst.

yanii18 aktiv_icon

00:39 Uhr, 15.01.2010

Ich habe folgende Ergebnisse für

a)

Falls sie falsch sind, bitte korrigieren :-)

f (x) = 2 x \cdot e^{- 0,5} x

(Das

x

hinter

0,5

soll eigentlich als Exponent oben stehen.)

f' (x) = 2 \cdot e^{- 0,5} x + 2 x \cdot (- 0,5 \cdot e^{- 0,5} x)

f'' (x) = 2 \cdot (- 0,5 \cdot e^{- 0,5} x) + 2 \cdot (- 0,5 \cdot e^{- 0,5} x) + 2 x \cdot 0,25 \cdot e^{- 0,5} x

f''' (x) = 2 \cdot 0,25 \cdot e^{- 0,5} x + 2 \cdot 0,25 \cdot e^{- 0,5} x + 2 \cdot 0,25 \cdot e^{- 0,5} x + 2 x \cdot (- 0,125 \cdot e^{- 0,5} x)

Ist das soweit richtig?

yanii18 aktiv_icon

00:46 Uhr, 15.01.2010

Hallo Steffen,

das mit dem Nullpunkt habe ich verstanden.
Und eigentlich weiß ich auch wie man die Extrempunkte und Wendepunkte ausrechnet. Mein Problem ist, dass ich leider nicht weiß, wie ich die Ableitungen umformen muss, damit ich einen x-Wert rausbekomme.

Zum Beispiel weiß ich nicht wie man

2 \cdot (- 0,5 \cdot e^{- 0,5} x)

auflöst

: - S

Liebe Grüße

pleindespoir aktiv_icon

00:46 Uhr, 15.01.2010

Wenn du die Hälften verdoppelst, lässt sich auch etwas vereinfachen.
Inbesondere vor der Weiterbearbeitung (nächste Ableitung) stark anzuraten.

yanii18 aktiv_icon

00:49 Uhr, 15.01.2010

Was meinst du mit verdoppeln, also an welchen Stellen und wie kann ich das machen?

pleindespoir aktiv_icon

00:58 Uhr, 15.01.2010

Bei den Termen in denen Faktoren

2

und

½

innerhalb eines Produktes vorkommen zum Beispiel.

Steffen0123 aktiv_icon

01:22 Uhr, 15.01.2010

Also deine erste Ableitung ist richtig, den rest gucken wir uns danach mal an.
Wichtig ist, dass du die Terme besser zusammenfasst.
Dein erste Ableitung ist riesengroß und es wird dann irgendwann immer und immer aufwendiger die Funktion abzuleiten.
Also machst du am besten folgendes:

bei

f' (x) = 2 e^{- 0,5 x} + 2 x (- 0,5 e^{- 0,5 x})

löst du erstmal die Klammer im 2.Summanden:

f' (x) = 2 e^{- 0,5 x} - x e^{- 0,5 x}

dann klammerst du

e^{- 0,5 x}

aus (da es im ersten und im zweiten Summanden enthalten ist)

also

f' (x) = e^{- 0,5 x} (2 - x)

Verstehste?? Dann sieht das ganze gleich viel freundlicher aus.

So, dann zu deiner Frage des Umformens bezüglich:

Du schreibst ja

f' (x) = 0

sprich

0 = e^{- 0,5 x} (2 - x)

Das mehr oder weniger praktische ist, dass

e^{- 0,5 x}

nie null werden kann, das heißt, du kannst immer brutal durch (egal, wie der term aussieht)

e^{i r g e n d w a s}

dividieren.
also hast du nur noch

0 = 2 - x

also für

x = 2

Kriegst dus damit für die anderen Ableitungen hin??

yanii18 aktiv_icon

01:35 Uhr, 15.01.2010

Ich versuchs mal:

Für

f'' (x) = 2 \cdot (- 0,5 \cdot e^{- 0,5} x) + 2 \cdot (- 0,5 \cdot e^{- 0,5} x) + 2 x \cdot (0,25 \cdot e^{- 0,5} x)

= - e^{- 0,5} x + (- e^{- 0,5} x) + 0,5 x \cdot e^{- 0,5} x

= e^{- 0,5} x \cdot (- 2 + 0,5 x)

(x

hinter

0,5

soll immer als Exponent oben stehen)
Ist das richtig?

yanii18 aktiv_icon

01:40 Uhr, 15.01.2010

Und für

f''' (x) = e^{- 0,5} x \cdot (1,5 - 0,25 x)

Kann das sein?

Steffen0123 aktiv_icon

01:59 Uhr, 15.01.2010

Beide richtig^^

f'' (x) = e^{- 0,5 x} (0,5 x - 2)

f''' (x) = e^{- 0,5 x} (1,5 - 0,25 x)

So. Und jetzt die Extrema

yanii18 aktiv_icon

02:05 Uhr, 15.01.2010

x = 2

einsetzen in

f'' (x) :

f'' (2) = e^{- 0,5} \cdot 2 \cdot (- 2 + 0,5 \cdot 2)

= - 2,43 + 1,21

= - 1,22

d . h

. es ist ein maximum oder?

yanii18 aktiv_icon

02:30 Uhr, 15.01.2010

Die Koordinaten für das Maximum müssten

x = 2

und

y = 4,85

sein.

Der Wendepunkt müsste bei

x = 4

und

y = 19,4

sein. Es müsste eine Linkskrümmung sein.
Soweit richtig?

Weißt du wie man den Graphen nun von einem Programm zeichnen lassen könnte?
Es gibt ja die Funktionsplotter, aber jedes mal wenn ich e^irgendwas eingebe, zeichnet er mir nichts

: - S

yanii18 aktiv_icon

02:43 Uhr, 15.01.2010

Jetzt habe ich auch versucht die Stammfunktion umzuformen.

Die Stammfunktion abgeleitet wäre:

F (x) = (- 4 x - 8) \cdot e^{- 0,5} x

\to F' (x) = 2 \cdot x \cdot e^{- 0,5} x

Wodurch kann ich nun zeigen, dass F(x)eine Stammfunktion von

f

ist?
Denn die Ableitung von

F (x)

sieht ja nicht so aus wie

f (x)

. Was kann ich denn noch machen damit es so aussehen kann wie

f (x)

Steffen0123 aktiv_icon

11:38 Uhr, 15.01.2010

Also beim Einsetzen von

x

in die zweite Ableitung is dir nen kleiner Rechenfehler unterlaufen, es müsste

f'' (x) = - 0,367

rauskommen.
Dein Punkt bleibt aber trozdem ein Maximum, da es ja immernoch negativ ist.

Hmpf. Bei den Koordinaten haste was falsch gemacht.
Du musst dein

x = 2 \in f (x),

also in deine Ausgangsgleichung einsetzen. Dann erhältst du:

f (2) = 2 \cdot 2 \cdot e^{- 0,5 \cdot 2} = 4 e^{- 1} = \frac{4}{e}

Also ist dein Punkt bei

(2 | \frac{4}{e})

Beim Wendepunkt ist dir das selbe passiert.

x = 4

ist richtig. Jetzt brauchst du noch

f (4)

und das ist

\frac{8}{e^{2}}

Ich kenn leider kein Programm, was Funktionen graphisch darstellt, ich bin verfechter des "selbst zeichnens"

; P

So. Deine Stammfunktion

F (x)

hast du richtig abgeleitet.
Und jetzt schau dir das doch mal an:

F

(x) = 2 x e^{- 0,5 x}

und deine Ausganzfunktion:

f (x) = 2 x e^{- 0,5 x}

fällt dir was auf?? (die sehen gleich aus!!)

; P

Also hast du das doch richtig gemacht! Vermutlich haste dich bloß verguckt.
Du kannst schreiben, da

f (x) = F' (x)

ist

F (x)

eine Stammfunktion von

f (x)

yanii18 aktiv_icon

14:26 Uhr, 15.01.2010

Ja stimmt. Nun seh ich es auch :-)

Zu

b)

Der tiefste Punkt müsste

x = 2

und der höchste Punkt

x = 8

sein oder?

Und was ist mit Querschnittsfläche gemeint?

Steffen0123 aktiv_icon

22:53 Uhr, 15.01.2010

Also der höchste Punkt ist bei

x = 2,

da hast du recht. Und auf Grund der Stetigkeit der Funktion (nach dem Hochpunkt fällt sie nur noch, da es keine weiteren Tief- oder Hochpunkte danach mehr gibt)
Ist auch bei

x = 8

der tiefste Punkt der Skipiste.
Aber du musst noch ausrechnen, wie hoch diese Punkte sind! Dazu musst du die jeweilige y-Koordinate finden und dann in Meter umrechnen (so, wies in der Aufgabenstellung steht)

Du hast den höchsten Anstieg des Hügels noch veregessen!
Dazu kannst du dir überlegen, dass der Anstieg einer Funktion beim Wendepunkt am höchsten ist.

Mit dem Querschnitt ist die Fläche unterhalb der Funktion gemeint, also alles, was vom Intervall

[2; 8],

der x-Achse und der Funktion eingeschlossen wird.

Sprich du musst das Integral von 2 bis 8 der Funktion bilden (die Stammfunktion haste ja schon)

PS: Sry, dass ich erst so spät antworte, war den ganzen tag unterwegs und dann noch dieser furchtbare Schnee!

yanii18 aktiv_icon

15:47 Uhr, 17.01.2010

Ja der Schnee ist echt nervig!
Kommst du aus Berlin, hab gesehen du gehst an die Potsdamer Uni? :-)
Wenn ja, komme auch aus Berlin.

Falls du Lust hast, könntest du mir ja Nachhilfe geben bis zum April :-)
Aber nur, wenn du willst und Zeit hast! :-)

Ich versteh nicht wie ich die Höhe der Abfahrtskurve an ihrem höchsten und ihrem tiefsten Punkt berechnen kann. Und wie rechnet man die maximale Steigung auf der Abfahrt aus?

Ich versuch mich jetzt erst mal mit der Querschnittsfläche!

yanii18 aktiv_icon

16:00 Uhr, 17.01.2010

Also habe für

A = 5,15

raus. Ist das richtig?

Und für die Piste hab ich die

y =

Koordinaten:

x = 2

und

y = 1,5

x = 8

und

y = 0,3

Und wie rechne ich sie nun in meter um?

Steffen0123 aktiv_icon

17:43 Uhr, 17.01.2010

Ne, ich komm aus Schenkenberg (das liegt irgendwo zwischen Potsdam und Brandenburg)

Ich glaub, ich schaff das mit der Nachhilfe nich wirklich. hab immer tonnenweise Aufgaben von der Uni und lass mir hier im Forum auch helfen

; P

Wenn, dann würde es nur gehen, indem man sich am WE trifft oder so (oder wenn meine Prüfungen vorbei sind - mitte Februar).

Aber erstmal zurück zur Mathematik:

Deine Querschnittsfläche ist richitg. Und deine Koordinaten auch.
Jetzt stell dir mal die Skipiste von der Seite vor (halt so, wie in einem Koordinatensystem), die x-Achse gibt die Länge und die y-Achse gibt die Höhe der Piste an.
Also wenn du jetzt wissen möchtest, wie hoch die Piste in Metern an der Stelle 2 (also am Höchsten Punkt) ist, dann musst du dich bloß auf die Längenangabe aus der Aufgabenstellung beziehen, da steht, eine LE entspräche

100 m

.
Also sind 1LE=100m, 2LE=200m und 1,5LE=...

Der Anstieg einer Funktion ist bei ihrem Wendepunkt maximal. Sprich du musst den Wendepunkt über die zweite Ableitung errechnen.

yanii18 aktiv_icon

18:38 Uhr, 17.01.2010

Ich weiß ich was die meinen!

D . h

1,5 = 150 m

Okay ich rechne mal schnell den Wendepunkt aus :-)

yanii18 aktiv_icon

18:47 Uhr, 17.01.2010

Die Höhe der Abfahrtskurve an ihrem tiefsten Punkt müssten

30 m

sein oder?

Der Wendepunkt:

x = 4

f''' (x) = 0,065

(Linkskrümmung)

Die Koordinaten des Wendepunktes:

x = 4

und

y = 1,08

Und wie groß ist nun die maximale Steigung auf der Abfahrt?

: - S

Steffen0123 aktiv_icon

20:30 Uhr, 17.01.2010

Die Höhen haste schonmal richtig ausgerechnet. Der Wendepunkt liegt auch an der richtigen stelle und ja, es ist auch eine Linkskrümmung.

Immer, wenn du die Steigung als Stichwort hörst muss dir sofort "erste Ableitung" in den Kopf schießen.
Den Anstieg/die maximale Steigung erhälts du, indem du die x-Koordinate des Wendepunktes in die erste Ableitung einsetzt. Dadurch erhältst du den Anstieg an diesem Punkt.

Also bildest du

f' (4)

(müsste negativ werden)

yanii18 aktiv_icon

20:44 Uhr, 17.01.2010

dann kommt

- 0,27

raus.

Und wie müsste ich den antwortsatz formulieren?

: - S

Steffen0123 aktiv_icon

00:13 Uhr, 18.01.2010

Okay. Keine Angst vor Antwortsätzen in Mathe, die sind wie in Deutsch.
Wenn ich dich Frage:

"Wie alt ist dein Hund?" Sagst du: "Mein Hund ist *Zahl*

(z . B

5)

Jahre alt"

und wenn ich dich jetzt Frage:

"Wie groß ist der maximale Anstieg" Sagst du:

. .

.

Bei

c)

musst du dann rückwärts rechnen. du hast

100 m

Höhe (umrechnen in den y-Wert) und suchst dann den passenden x-Wert.

yanii18 aktiv_icon

00:41 Uhr, 18.01.2010

Dann sag ich die maximale Steigung ist

- 0,27

.

Zu

c)

Genau, das dacht ich mir schon.
Der y-Wert müsste ja dann 1 sein (da 1LE=100m).

Heißt es dann, dass ich den y-Wert einfach in die ursprüngliche Formel einsetze?

Also:

1 = 2 x \cdot e^{- 0,5} \cdot x

1 = 2 x

x = 0,5

So richtig?

Steffen0123 aktiv_icon

07:52 Uhr, 18.01.2010

Nein. Du hast falsch umgestellt, du kannst da nicht so durch

e

hoch dividieren, weil du auf der anderen Seite keine null hast.

Allerdings musst du deinen wert diesmal ablesen, da du die funktion nicht nach

x

umstellen kannst.

yanii18 aktiv_icon

13:52 Uhr, 18.01.2010

Hey Steffen,

ja stimmt, das haben wir vorhin im Unterricht besprochen!

Vielen vielen lieben Dank für deine Hilfe, nur dank Dir konnte ich heut im Matheunterricht gläntzen! :-)

Danke schön und liebe Grüße

Yan

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