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Satz von L'Hospital nicht anwendbar?

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Grenzwert, L'Hopital, lim, Sinus

Konstantin89 aktiv_icon

01:27 Uhr, 06.02.2012

Hey Leute!

Ich habe eine Problem bei dieser Aufgabe:

lim_{x \to o} (\frac{x^{3} \cdot sin (\frac{1}{x^{2}})}{x + sin (x)})

Ich hätte hier den Satz von L'Hospital angewendet und Zähler und Nenner abgeleitet:

Zähler geht gegen 0:

x^{3} = 0

sin (\frac{1}{x^{2}}) \to

geht bei Annäherung an Null gegen Unendlich

\to

In diesem Bereich pendelt die Sinuskurve ja zwischen

[- 1; 1]

aber

0 \cdot

irgendwas

= 0

?

Nenner geht gegen 0:

x = 0

sin (x) = 0

\to 0 \cdot 0 = 0

Folglich sollte der Satz von L'Hospital doch anwendbar sein?

In der Lösung wird aber eine Art Annäherung vorgenommen und es steht dabei, dass L'Hospital nicht anwendbar ist.

Die Löung schaut dann so aus:

lim_{x \to o} (\frac{x^{3} \cdot sin (\frac{1}{x^{2}})}{x + sin (x)}) = lim_{x \to o} (x (\frac{x^{2} \cdot sin (\frac{1}{x})}{1 + (\frac{sin (x)}{x})}) \leq lim_{x \to o} | \frac{x^{2} \cdot sin (\frac{1}{x})}{1 + (\frac{sin (x)}{x})} | \leq lim_{x \to o} | \frac{x^{2}}{1 + (\frac{sin (x)}{x})} | = 0

Ich kann leider mit der Lösung nicht so wirklich viel anfangen... Hat hier jemand eine Erklärung? Wäre echt Top ;-)

Viele Grüße
Konstantin

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
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Konstantin89 aktiv_icon

01:33 Uhr, 06.02.2012

Hier noch ein Bild der Aufgabe

Die Bemerkung stammt von mir selber! Stimmt diese überhaupt so?

Woher weiß man eigebtlich, dass

lim_{x \to o} \frac{sin (x)}{x} = 1

irena

10:04 Uhr, 06.02.2012

Hallo,
zur Frage 1: l'Hospital bringt dich nicht weiter, da du immer

x

im Nenner hast von

sin (\frac{1}{x^{2}})

zu Frage 2: das kannst mit Hilfe von l'Hospital beweisen.

Konstantin89 aktiv_icon

11:05 Uhr, 06.02.2012

Hey!

d . h

. man kann den Satz von L'Hospital generell nicht anwenden, wenn in der Funktion beispielsweise

sin (\frac{1}{x}) cos (\frac{1}{x}) cosh (\frac{1}{x}) sin (\frac{1}{x})

usw vorkommt? hat das einen bestimmten Grund?

Kann mir noch jemand erklären, was da dann bei der Lösung (Annäherung?) gemacht wird?

danke :-)

michaL aktiv_icon

12:12 Uhr, 06.02.2012

Hallo,

@OP:
Welche Voraussetzungen müssen denn erfüllt sein, damit man de L'Hospital anwenden darf? EIne wird wohl verletzt sein. (Und ja, das hast mit

\sin (\frac{1}{x^{2}})

zu tun.)

Eine Sache noch: Vorsicht mit solchen Aussgagen wie 0

\cdot

irgendwas = 0.

Bei Grenzprozessen kann das falsch sein. Gegenbeispiele lassen sich per

\frac{1}{x} \cdot x^{k}

viele konstruieren!

Mfg MIchael

CKims aktiv_icon

12:13 Uhr, 06.02.2012

lim_{x \to 0} \frac{sin (x)}{x} = 1

kann man nicht mit

l

hopital zeigen. da kommt zwar das richtige ergebnis raus, aber handelt es sich dann beim beweis um einen zirkelschluss. denn in der ableitung vom sinus ist der term

lim \frac{sin (x)}{x}

versteckt. und man trifft dann dort auf genau dasselbe problem...

hier wird gezeigt wie man es besser macht

http//www.youtube.com/watch?v=Ve99biD1KtA

solche generellen aussagen wie "man darf nie

l

hopital anwenden wenn der term

sin (\frac{1}{x})

etc. vorkommen" sind sehr gefährlich... bestimmt lässt sich auch was konstruieren, wo das funktionieren könnte. du musst dir einfach nur merken, dass man

l

hopital anwenden kann, wenn sich ein term der form

\frac{0}{0}

oder

\frac{\infty}{\infty}

ergibt UND der grenzwert existiert oder bestimmt divergiert. mehr gibt es nicht zu beachten... um nun im vorhinein entscheiden zu koennen, ob

l

hopital dich weiterbringt, brauch man einfach ein wenig erfahrung. solange diese erfahrung nicht da ist, muss man es einfach ausprobieren und gucken ob sich was sinnvolles ergibt. wenn nicht, muss man eben nach anderen mitteln gucken, wie

z . B

. das sandwhichen.

to be continued...

CKims aktiv_icon

12:20 Uhr, 06.02.2012

beim sandwhichen versuchst du zwei terme zu basteln. der eine soll immer kleinergleich und der andere groessergleich als deine gegebene funktion sein. damit liegt deine gegebene funktion immer dazwischen. wenn man sich genug muehe dabei gemacht hat, sind die beiden neu gebastelten terme einfacher zu bestimmen als dein gegebener. laufen nun die beiden gebastelten terme auf denselben grenzwert zu muss der grenzwert deines gegebenen terms auch derselbige sein weil dazwischen.

du musst dir also nur klar machen, dass die terme links und rechts jeweils groesser bzw. kleiner als der gegebene sind.

Konstantin89 aktiv_icon

13:04 Uhr, 06.02.2012

genial! ich habs gecheckt ;-) vielen dank :-) :-)

Salziger aktiv_icon

15:44 Uhr, 12.01.2017

"""

lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x} = 1

kann man nicht mit ll hopital zeigen. da kommt zwar das richtige ergebnis raus, aber handelt es sich dann beim beweis um einen zirkelschluss. denn in der ableitung vom sinus ist der term

lim_{} \frac{\sin (x)}{x} = 1

versteckt. und man trifft dann dort auf genau dasselbe problem... """

Sorry, wenn ich das nochmal aufwärme, aber da dieses hier eine der ersten Googletreffer war würde ich gerne eine genauere Ausführung dazu haben. Ich verstehe nähmlich nicht warum das nicht mit L'Hopital gehen soll!

Folgendes:

lim_{x \to 0} \sin (x) = 0

und

lim_{x \to 0} x = 0

--> Bedingungen für L'Hopital erfüllt, falls:

lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) ʹ}{x ʹ}

existiert und das

lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) ʹ}{x ʹ} = lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x}

--> z.z. das

lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) ʹ}{x ʹ}

existiert:

lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) ʹ}{x ʹ} = lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{1} = lim_{x \to 0} \cos (x) = 1

-->

lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x} = 1

Roman-22

18:54 Uhr, 12.01.2017

>

Ich verstehe nähmlich nicht warum das nicht mit L'Hopital gehen soll!
Niemand hat behauptet das es nicht "geht". CKims hat doch sogar geschrieben, dass man mit de l'Hôspital aufs richtige Ergebnis kommt.
Er hat nur zu Recht bemängelt, dass es sich dabei um eine Art Zirkelschluss handelt.

Wenn du die Aufgabe mit Hôspital bearbeitest, dann verwendest du doch, dass die Ableitung von

sin x

der

cos x

ist. Und wie zeigst du, dass

sin x

abgeleitet den

cos x

ergibt??
Man zeigt es, durch Übergang vom Differenzenquotienten zum Differentialquotienten und muss

(sin (x))' = lim_{Δ x \to 0} \frac{sin (x + Δ x) - sin (x)}{Δ x}

bilden. man wird ein Additionstheorem anwenden und muss dann im Wesentlichen die beiden Grenzwerte

lim_{Δ x \to 0} \frac{cos (Δ x) - 1}{Δ x} = 0

und

lim_{Δ x \to 0} \frac{sin (Δ x)}{Δ x} = 1

bestimmen. Klar, dass man dabei eben noch nicht verwenden kann, dass die Ableitung von

sin x

gleich der

cos x

ist. Das zu zeigen ist man ja gerade erst dabei. Daher muss man diese Grenzwerte auf anderem Weg, zB durch sandwichen herleiten.

R

Atlantik aktiv_icon

19:03 Uhr, 12.01.2017

Hier ist es auch gezeigt:

math.dartmouth.edu/archive/m3f13/public_html/notes/Lecture10-print.pdf

mfG

Atlantik

Salziger aktiv_icon

19:11 Uhr, 12.01.2017

Also ein Zirkelschluss bedeutet für mich immer, dass man sich im Kreis/Zirkel dreht mit der Beweiskette. Also dass aus A folgt B und aus B folgt C und aus C folgt A. Das Problem dabei ist aber, dass man so keine Beweise führen darf.
Dieses heißt weiterhin aber, dass man das obige Beispiel Bsp. (Beweis von

lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x} = 1

über L'Hopital) nicht anwenden darf, wenn man die Ableitung des Sinus über die Quotientenregel beweist.

Wenn man aber die Ableitung des Sinus über dessen Reihenentwicklung beweist ist kein Zirkelschluss gegeben. Deshalb verstehe ich obige Aussage leider nicht ganz. Es kommt wohl einfach drauf an, welchen Weg man geht, aber es zu behaupt, dass die nicht geht halte ich für falsch.

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