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Sinus Cosinus Grenzwert bilden

Universität / Fachhochschule

Tags: Cosinus, Grenzwert, Sinus

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21:14 Uhr, 05.12.2023

Beim Ableiten vom Cosinus mit dem limes kommt nach Umformung

lim_{h \to 0} (\frac{cos (x) \cdot (cos (h) - 1)}{h}) - lim_{h \to 0} \frac{sin (x) \cdot sin (h)}{h}

raus.

Wenn ich jetzt das

h

gegen null laufen lasse steht da

\frac{cos (x) \cdot (cos (0) - 1)}{0} - \frac{sin (x) \cdot sin (0)}{0}

= cos (x) \cdot (\frac{cos (0) - 1}{0}) - sin (x) \cdot (\frac{sin (0)}{0})

(\frac{cos (0) - 1}{0}) = \frac{0}{0}

und auch

(\frac{sin (0)}{0}) = \frac{0}{0}

aber damit meine Ableitung richtig ist muss

(\frac{cos (0) - 1}{0}) = \frac{0}{0} = 0

und

(\frac{sin (0)}{0}) = \frac{0}{0} = 1

sein.

Wieso ist

\frac{0}{0}

ein mal

= 1

und ein mal

= 0

???

*komplette Rechnung siehe Bild im Anhang

WhatsApp Bild 2023-12-05 um 21.12.51_9b10eabf

WhatsApp Bild 2023-12-05 um 20.57.38_9f4f5baf

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige trigonometrische Werte
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Rechenregeln Trigonometrie
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Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
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michaL aktiv_icon

21:35 Uhr, 05.12.2023

Hallo,

die Schreibweise

\frac{0}{0}

kann höchstens informell sein.
Und daher kann man sich nicht gut wundern, dass die Grenzwerte verschieden sind, obwohl doch das vermeintliche Zwischenergebnis das gleiche ist.

Gerade bei diesen zunächst unbestimmten Grenzwerten kann eben alles mögliche herauskommen.

Beispiele:
* Grenzwert 0
Nimm dafür

lim_{h \to 0} \frac{h^{2}}{h} " = \frac{0}{0} "

.
* Grenzwert

a \in ℝ \ {0}

Nimm dafür

lim_{h \to 0} \frac{x + a}{x + 1} = a

.
* Grenzwert

\pm \infty

Nimm dafür

lim_{h \to \pm 0} \frac{h}{h^{2}}

.

Vielleicht willst du ja eigentlich nur wissen, warum

lim_{h \to 0} \frac{\cos (h) - 1}{h} = 0

gilt?
Dazu gibt es zwei Erklärungen, je nachdem, was du weißt/verwenden darfst.
Entweder gehe über die Definition des Kosinus:

\cos (x) := \sum_{k = 0}^{\infty} (- 1)^{k} \frac{x^{2 k}}{(2 k)!} = 1 - \frac{x^{2}}{2} \pm \dots

Daraus folgt:

\cos (h) - 1 = - \frac{h^{2}}{2} \pm h^{2} \cdot (. . .)

Damit:

\frac{\cos (h) - 1}{h} = - \frac{h}{2} \pm h \cdot (. . .) \overset{h \to 0}{\to} 0

Entsprechend für den Sinusterm!

Eine Alternative verwendet die Regel von de l'Hopital.

lim_{h \to 0} \frac{\cos (h) - 1}{h}

ist vom Typ

\frac{0}{0}

, was die Verwendung des Satzes rechtfertigt.

Damit existiert der Grenzwert, wenn der der Ableitungen (von Zähler bzw. Nenner) an der gleichen Stelle existiert. Die Grenzwerte stimmen dann überein. (Etwas salopp ausgedrückt.
Da

(\cos (h) - 1) ʹ = - \sin (h)

und

h ʹ = 1

(Bedenke, dass

h

hier die Variable ist, nach der man ableitet!), gilt

lim_{h \to 0} \frac{\cos (h) - 1}{h} = lim_{h \to 0} \frac{- \sin (h)}{1} = 0

.

Für den Grenzwert mit Sinus kann man das entsprechend abarbeiten.

Ich nehme allerdings an, dass dies hier nicht infrage kommt.

Für den Sinusgrenzwert kann man noch

\sin (x) < x

für

x \approx 0

in Kombination mit

\sin (x) \approx x

und dem Quetschlemma verwenden, um den Grenzwert 1 zu erhalten.

Mfg Michael

HAL9000

22:01 Uhr, 05.12.2023

Man kann auch mit der geometrischen Sinusdefinition den Grenzwert

lim_{h \to 0} \frac{\sin (h)}{h} = 1

begründen.

Der andere folgt dann durch eine passende Erweiterung unter Berücksichtigung von

\sin^{2} (h) + \cos^{2} (h) = 1

lim_{h \to 0} \frac{\cos (h) - 1}{h} = lim_{h \to 0} \frac{(\cos (h) - 1) (\cos (h) + 1)}{h (\cos (h) + 1)} = lim_{h \to 0} \frac{\cos^{2} (h) - 1}{h (\cos (h) + 1)}

= lim_{h \to 0} \frac{- \sin^{2} (h)}{h (\cos (h) + 1)} = - lim_{h \to 0} \frac{\sin (h)}{h} \cdot lim_{h \to 0} \frac{\sin (h)}{\cos (h) + 1} = - 1 \cdot \frac{0}{2} = 0

P.S.: Geringfügig angepasst kann man mit letzterer Methode auch die genauere Grenzwertaussage

lim_{h \to 0} \frac{\cos (h) - 1}{h^{2}} = - \frac{1}{2}

nachweisen.

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