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Spiegelung an Punkt A

Schüler Berufsmaturitätsschule, 13. Klassenstufe

Tags: Funktionsgleichung, Parabel, spiegelung

MickyTheMick aktiv_icon

11:28 Uhr, 28.05.2009

Hallo

Ich weiss nicht ob ich eine Aufgabe richtig gelöst habe. Könnt ihr schnell schauen ob es stimmt?

Ursprünglich hatte diese Parabel:

$y = 0.5 x^{2} - 4 x + 10$

Diese musste ich am Punkt A (2/1) spiegeln.

Zuerst verschob ich die Parabel auf den Punkt (0/0). Dann spiegelte ich die Parabel am Punkt 0 und verschob dann die Parabel um die Koordinanten (2/1)

Die entgültige Gleichung ist:

$y = - 0.5 x^{2} - 2 x - 3$

Im Anhang habe ich noch die Skizze.

Ich wäre froh wenn ihr mir sagend könnt ob mein Resultat stimmt.

Danke und Gruss

Tim

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Quadratische Funktionen (Mathematischer Grundbegriff)
Parabel (Mathematischer Grundbegriff)
Quadratische Ergänzung
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

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Edddi aktiv_icon

11:55 Uhr, 28.05.2009

...da hast du wohl einen Fehler drin...

wenn du deinen X-Wert 4 des Scheitelpunktes an 2 spiegelst, muss der neue Scheitelpunkt bei 0 liegen.

...geh' doch einfach streng mathematisch vor.

Eine Spiegelung einer Funktion

y = f (x)

(x_{s}; y_{s})

geht mathematisch so durch Transfaormation:

[

EDIT: das ist falsch umgestellt]

y_{n} = 2 \cdot y_{s} - y

und damit:

y = y_{n} - 2 \cdot y_{s}

x_{n} = 2 \cdot x_{s} - x

und damit:

x = x_{n} - 2 \cdot x_{s}

[

EDIT: hier ist's richtig]

y_{n} = 2 \cdot y_{s} - y

und damit:

y = 2 \cdot y_{s} - y_{n}

x_{n} = 2 \cdot x_{s} - x

und damit:

x = 2 \cdot x_{s} - x_{n}

Für dein Beispiel

(x_{s}; y_{s}) = (2; 1)

heisst das:

y = 2 - y_{n}

und

x = 4 - x_{n}

dies setzt du nun einfach in deine Funktion ein und fertig ist die Transformation:

y = \frac{1}{2} \cdot x^{2} - 4 \cdot x + 10

(2 - y_{n}) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x_{n})}^{2} - 4 \cdot (4 - x_{n}) + 10

2 - y_{n} = \frac{1}{2} \cdot x_{n}^{2} + 2

y_{n} = - \frac{1}{2} \cdot x_{n}^{2}

...und dies ist deine gespiegelte Funktion, da durch die Transformationsgleichungen jeder Punkt an

(x_{s}; y_{s})

gespiegelt wurde.

Du kannst jetzt auch das

_n

weglassen:

y = - \frac{1}{2} \cdot x^{2}

;-)

MickyTheMick aktiv_icon

12:17 Uhr, 28.05.2009

Hallo

Diese Transformtionsgleichungen sehe ich zum ersten mal, scheinen mir aber eine hilfreiche Sache zu sein.

Ich verstehe es aber noch nicht ganz.

Ist die Form immer

$y = y_{n} - 2 {* y}_{s}$

$x = x_{n} - 2 * x_{s}$

Die 2 also unabhängig von Scheitepunkt und Spiegelpunkt immer in der Formel?

Danke und Gruss

Tim

Edddi aktiv_icon

12:33 Uhr, 28.05.2009

...jau...kann man selbst gaaaaanz einfach herleiten und muss sie nicht auswendig lernen.

in Variablen
X-Abstand von

x

x_{s}

sei

x - x_{s}

in Zahlen
X-Abstand von 5 zu 2 sei

5 - 2 = 3

x_{s} = 2

der Spiegelungspunkt ist, musst du für den neuen X-Wert

x_{n}

also 3 vom Spiegelungspunkt-X-Wert abziehen:

in Variablen

x_{n} = x_{s} - (x - x_{s}) = x_{s} - x + x_{s} = 2 \cdot x_{s} - x

in Zahlen

x_{n} = 2 - (5 - 2) = - 1

...genauso funktionierts mit den Y-Werten.... am besten ist's man zeichnet's sich auf.

;-)

MickyTheMick aktiv_icon

12:57 Uhr, 30.05.2009

Hallo

Danke noch einmal für diesen Tipp. Somit ist Spiegeln an einen Punkt kein Problem mehr.

Gibt es auch einen solchen Tipp wenn man an der y- oder x- Achse spiegeln muss? Für mich ist der mathematische Weg wie oben eine grosse Erleichterung.

Danke und Gruss

Tim

Edddi aktiv_icon

10:01 Uhr, 02.06.2009

...natürlich...am besten, man skizziert's sich auf, und schaut wie sich die Punkte verhalten.

1. Spiegelung an der Y-Achse... ist ja wohl gaaanz einfach.

Jeder Funktionswert von

x

wird bei

- x

abgebildet und umgekehrt.

Damit ist die Spiegelfunktion zu

f_{S} (x) = f (- x)

Beispiel:

y = \frac{1}{3} \cdot x

Spiegelfunktion:

y_{S} = \frac{1}{3} \cdot (- x) = - \frac{1}{3} \cdot x

oder

y = x^{2}

Spiegelfunktion

y_{S} = {(- x)}^{2} = x^{2}

...wie du siehst. ist sie identisch, ist ja auch logisch, da

x^{2}

ja auch spiegelsymmetrisch.

2. Spiegelung an X-Achse... ist ja noch einfacher...

Für

x

nimmst du jetzt den negativen Funktionswert:

Damit ist die Spiegelfunktion zu

f_{S} (x) = - f (x)

Jetzt mit den gleichen Beispielen:

Beispiel:

y = \frac{1}{3} \cdot x

Spiegelfunktion:

y_{S} = - (\frac{1}{3} \cdot x) = - \frac{1}{3} \cdot x

oder

y = x^{2}

Spiegelfunktion

y_{S} = - (x^{2}) = - x^{2}

...jetzt kannst du mit den selben Erzeugungsregeln an jeder beliebigen Gerade spiegeln, ja man kann sogar an gekrümmten Kurven spiegeln!!

3 .)

Spiegelung an

y = 4 :

Jetzt wieder das Verhalten der einzelnen Punkte

(x; f (x))

anschaun.

Abstand

δ = f (x) - 4

Der gespiegelte Funktionswert ist:

f_{S} (x) = 4 - δ = 4 - (f (x) - 4) = 8 - f (x)

oder allgemein Spiegelung an

y = s

y_{S} (x) = 2 \cdot s - y

...du siehst...es ist identisch mit dem y-wert der Punktspiegelung...die Transformation umfässt aber nur den y-Wert und NICHT den X-Wert. ist ja auch logiech, oder?

Beispiel:

x^{2} + 4

spiegel ich an

y = 4 . .

. dem zu Folge müsste

- x^{2} + 4

rauskommen:

f (x) = x^{2} + 4

f_{S} (x) = 2 \cdot 4 - f (x) = 8 - (x^{2} + 4) = - x^{2} + 4

...so einfach ist das...

;-)

MickyTheMick aktiv_icon

17:33 Uhr, 02.06.2009

Hallo

Super für diese Formel. Damit wird es für mich deutlich einfacher. Warum verrrät uns unsere Lehrerin diese nicht? :(

Gibt es ähnlich Formel für die Streckung?

Streckung an der y- Achse habe ich eine: $f (x) = 4 * f (x)$

Streckung an der x- Achse habe ich: y durch $\frac{1}{x} y$

Gibt es ähnliches für Streckung am Punkt und Streckung an einer Geraden? Dann wäre meine Formelsammlung vollständig.

Danke und Gruss

Tim

Edddi aktiv_icon

07:37 Uhr, 03.06.2009

...Streckung an der Y-Achse ist OK, wie gesagt, man betrachtet einfach das Verhalten für EINEN BELIEBIGEN Punkt, diese Gestzmäßigkeit wird dann auf ALLE Punkte angewendet.

Streckung entlang der Y-Achse: Der Funktionswert

f (x)

wird um den Faktor a gestreckt, also gilt:

y_{S} (x) = a \cdot f (x)

So, nun die Streckung (Stauchung) entlang der X-Achse:

Willst du einen Punkt entlang der X-Achse stauchen, bildest du bei

x

eben nicht

f (x)

ab, sondern

f (a \cdot x)!

Dies ergibt also für

a > 1

eine Stauchung und für

a < 1

eine Streckung:

y_{S} (x) = f (a \cdot x)

Bsp.:

y = x^{2}, y_{S} = {(a \cdot x)}^{2} = a^{2} \cdot x^{2};

für Streckung um den Faktor 2 ist

a = \frac{1}{2},

daraus folgt:

y = {(\frac{1}{2} \cdot x)}^{2} = \frac{x^{2}}{4}

Streckung an einer Geraden

(y_{0}) :

Entfernung

f (x)

von

y_{0}

ist

δ = f (x) - y_{0}

Diese Entfernung mit deinem Streckungsfaktor a multiplizieren:

a \cdot δ = a \cdot (f (x) - y_{0})

Da die Strckung von

y_{0}

aus erfolgt musst du die gestreckte Entfernung zu

y_{0}

dazurechnen (ich empfehle immer wieder, es dir aufzuskizzieren, damit du es verstehst), dann erhälst du:

y_{S} = y_{0} + a \cdot δ = y_{0} + a \cdot (f (x) - y_{0}) = y_{0} + a \cdot f (x) - a \cdot y_{0} = a \cdot f (x) + y_{0} \cdot (1 - a)

Beispiel:

y = x^{2}

y_{0} = 4

um den Faktor

a = 2

gestreckt:

y_{s} = 2 \cdot (x^{2}) + 4 \cdot (1 - 2) = 2 \cdot x^{2} - 4

Streckung an

x_{0} :

Entweder wie oben gezeigt, oder durch aufeinanderfolgendes Transformieren:

Ich möchte beispielsweise

f (x)

x_{0} = 3

strecken. Dazu verschiebe ich zuerst

f (x)

- 3,

dadurch läuft die Funktion an der richtigen Stelle durch die Y-Achse, wenn ich jetzt "klassich" strecke!

Also:

y_{1} = f (x + 3)

bzw.

y_{1} = f (x + x_{0})

Diese Funktion wird jetzt um den Faktor a gestreckt mittels

y_{S} = f (\frac{1}{a} \cdot x) :

y_{2} = f (\frac{1}{a} \cdot x + x_{0})

Jetzt mach' ich die Verschiebung wieder rückgängig:

y_{3} = f (\frac{1}{a} \cdot (x - x_{0}) + x_{0}) = f (\frac{1}{a} \cdot x + (1 - \frac{1}{a}) \cdot x_{0})

Beispiel:

y = x^{2}

gestreckt um

a = 2

x_{0} = 1

(dadurch müsste sich der Scheitel von

x = 0

auf

x = - 1

verschieben)

y_{3} = y_{S} = f (\frac{1}{2} \cdot x + (1 - \frac{1}{2}) \cdot 1) = f (\frac{x}{2} + \frac{1}{2}) = {(\frac{x}{2} + \frac{1}{2})}^{2} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{2} + \frac{1}{4} = \frac{1}{4} \cdot (x^{2} + 2 \cdot x + 1) = \frac{1}{4} \cdot {(x + 1)}^{2}

...passt wunderbar...

Also, du entwickelst wir gesagt die Gleichung für einen beliebigen Punkt, und wendest das dann auf die ganze Funktionsvorschrift an, oder aber du führst verschiedene Transformationen nacheinander durch. Aber aufpassen, das du beim transformieren den jewils richtigen Term beachtest, dr transformiert wird.
Du siehst es gut bei meiner Entwicklung von y_3...dort wird nicht einfach wieder

x_{0}

abgezogen, sondern

x

wird durch

(x - x_{0})

nach Vorschrift

y_{s} = f (x + a)

ersetzt.

...so, jetzt sind meine Finger wund, und ich brauch' erstmal ein Käffche...du hast ja jetzt erst mal zu schmökern

;-)

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