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Vergleichssatz für Grenzwertberechnung

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Grenzwert, Sinus

Kimono aktiv_icon

09:38 Uhr, 26.06.2014

Hallo!

Ich soll den limes von

x \to π

dieser Funktion bestimmen:

lim (x \to π) (x^{2} - π^{2}) \cdot sin (\frac{1}{x - π})

Ich habe den Limes zuerst auf beide Faktoren aufgeteilt:

lim (x \to π) (x^{2} - π^{2}) \cdot lim (x \to π) sin (\frac{1}{x - π})

Und für den zweiten Teil den Limes "hineingezogen", da

sin (x)

stetig:

sin (lim (x \to π) (\frac{1}{x - π}))

Für den ersten Teil erhalten ich dann:

lim (x \to π) (x^{2} - π^{2}) = 0

Und der zweite Teil ist nicht definiert, da unter dem Bruchstrich Null entstehen würde...

Nun habe ich mir gedacht, wenn man etwas mit 0 multipliziert, erhält man so oder so das Produkt

0,

also habe ich

= 0

als Gesamtlösung angegeben. Damit die Lösung aber ganz richtig ist, muss ich beweisen, dass

sin (lim (x \to π) (\frac{1}{x - π})) \neq \infty

ist...

Meine erste Frage ist: Warum muss dieser Beweis erbracht werden? Und meine zweite Frage: Ich soll dazu einen Vergleichssatz anwenden. Wie geht das?

Vielen Dank schon mal im Voraus!

lg

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
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Mathe-Steve aktiv_icon

09:52 Uhr, 26.06.2014

Hallo,
nimm die beiden Folgen

\frac{1}{n}

und

n^{2}

. Die erste strebt gegen null, die zweite gegen

\infty

. Das Produkt strebt nicht gegen null. Deshalb musst der zweite Faktor beschränkt sein.
Bedenke für dein Problem, dass der Wertebereich der Sinusfunktion

[- 1; 1]

ist, egal was als Argument im Sinus steht.
Gruß
Stephan

Kimono aktiv_icon

10:06 Uhr, 26.06.2014

Also weil der Wert von Sinus immer

[

−1;1] ist, ist der zweite Teil nicht Unendlich. Und die Rechnung sähe quasi so aus: 0*[−1;1]

= 0

Richtig? :-)

Vielen Dank für deine Hilfe, Mathe-Steve!!

Mathe-Steve aktiv_icon

10:30 Uhr, 26.06.2014

Im Prinzip ja, aber so kannst Du das natürlich nicht hinschreiben.

- | a_{n} | \leq a_{n} \cdot sin (b_{n}) \leq | a_{n} |

Jetzt Grenzübergang

0 \leq lim (a_{n} \cdot sin (b_{n})) \leq 0

Somit

lim (a_{n} \cdot sin (b_{n})) = 0

1174972

1174964

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