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Wendepunktberechnung einer Sinusfunktion

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Kosinus, Sinus, Wendepunkt

CedeXx aktiv_icon

11:13 Uhr, 09.08.2010

Hallo Mathe Freunde, hier meine Frage und meine Lösung:

Gegeben ist die Funktion

f (x) = 2 \cdot sin (x - (\frac{Π}{3}))

für

0 \leq x \leq 2 Π

Berechnen Sie die Lage der Wendepunkte von

f

.

Um das zu berechnen muss ja

f'' (x) = 0

und

f''' (x)

ungleich 0 sein.

f'' (x) = cos (x - \frac{π}{6})

cos (z) = 0 z = : x - \frac{π}{6}

und da beim Kosinus an der Stelle

\frac{π}{2}

und

\frac{3 π}{2}

eine Nullstelle ist würde das ja dann heißen

\frac{π}{2} = x - \frac{π}{6} \Leftrightarrow x = \frac{2 \cdot π}{3}

und 3pi/2=x-pi/6

\Leftrightarrow x = 5 \frac{π}{3}

stimmt das?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige trigonometrische Werte
Additionstheoreme
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie
Kosinus (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinussatz (Mathematischer Grundbegriff)
Allgemeine Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Krümmungsverhalten
Sinus und Kosinus für beliebige Winkel
Wendepunkte

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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11:27 Uhr, 09.08.2010

Wie kommst du auf

f'' (x)

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11:31 Uhr, 09.08.2010

Die Ableitungen sind nicht korrekt (Kettenregel)!

[2 \cdot sin (x - \frac{π}{3})]' = 2 \cdot cos (x - \frac{π}{3})

und

[2 \cdot cos (x - \frac{π}{3})]' = - 2 \cdot sin (x - \frac{π}{3})

Nullstellen bei:

sin (x - \frac{π}{3}) = 0

damit muss im Bereich von 0 bis

2 π :

(x - \frac{π}{3}) = 0

und somit

x = \frac{π}{3}

(x - \frac{π}{3}) = π

und somit

x = π + \frac{π}{3} = \frac{4}{3} \cdot π

(x - \frac{π}{3}) = 2 \cdot π

und somit

x = 2 \cdot π + \frac{π}{3} = \frac{7}{3} \cdot π

Für oben genannten Bereich kommen somit nur die ersten beiden Lösungen in Frage.

;-)

CedeXx aktiv_icon

11:44 Uhr, 09.08.2010

Komisch. aber ist

- 2 \cdot sin (x - \frac{π}{3})

nicht das gleiche wie

cos (x - \frac{π}{6})

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12:19 Uhr, 09.08.2010

Wie kommst du darauf?

Edddi aktiv_icon

12:21 Uhr, 09.08.2010

...na gut...lassen wir mal den Faktor

- 2

außer Betracht.

Dann gilt wegen

sin (x) = cos (x - \frac{π}{2}) :

sin (x - \frac{π}{3}) = cos ((x - \frac{π}{3}) - \frac{π}{2}) = cos (x - \frac{5}{6} \cdot π) = - cos (x + \frac{π}{6})

Dann musst du aber auch beachten, dass sich die Nullstellen der Kosinusfunktion woanders befinden:

cos (x - \frac{5}{6} \cdot π) = 0

für:

x - \frac{5}{6} \cdot π = \frac{π}{2}

und somit:

x = \frac{π}{2} + \frac{5}{6} \cdot π = \frac{8}{6} \cdot π \pm n \cdot π

Für den Lösungsbereich 0 bis

2 π

ergibt sich dann wieder:

\frac{8}{6} \cdot π - 0 \cdot π = \frac{4}{3} \cdot π

bzw:

\frac{8}{6} \cdot π - 1 \cdot π = \frac{2}{6} \cdot π = \frac{π}{3}

;-)

CedeXx aktiv_icon

12:22 Uhr, 09.08.2010

Ich weiß es ja eben nicht genau. aber mein Ti sagt das..

: |

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12:29 Uhr, 09.08.2010

Okay alles klar. wenn wir nun die 3. Ableitung bilden würden wäre das dann

f'''(x)=-2cos(x-pi/3) ?

Edddi aktiv_icon

12:33 Uhr, 09.08.2010

...jau...

Und da mit jeder Ableitung die Funktion nur um

\frac{π}{2}

verschoben wird, muss

y''' \neq 0

sein, wenn

y'' = 0

;-)

CedeXx aktiv_icon

12:57 Uhr, 09.08.2010

Okay und nun muss ich noch wissen in welchem Winkel der graph von

f

auf die y-achse trifft.

Wie mach ich das nun theoretisch?

Edddi aktiv_icon

13:04 Uhr, 09.08.2010

...bestimme einfach die Ableitung an den Nullstellen von

f!

f (x) = 2 \cdot sin (x - \frac{π}{3})

f' (x) = 2 \cdot cos (x - \frac{π}{3})

Nullstellen von

f

für

x \in [0; 2 π] :

x - \frac{π}{3} = 0

somit

x_{1} = \frac{π}{3}

x - \frac{π}{3} = π

somit

x_{2} = π + \frac{π}{3} = \frac{4}{3} \cdot π

x - \frac{π}{3} = 2 \cdot π

somit

x_{3} = 2 \cdot π + \frac{π}{3} = \frac{8}{3} \cdot π

...einsetzen in

f' (x)

liefert den Anstieg, welcher gleich dem Tangens des Winkels ist.

;-)

Meckmeckmeck

13:05 Uhr, 09.08.2010

Allgemein (also im speziellen auch beim sin od.

cos)

bekommst du die Steigung über die Ableitung, wenn du nun also die Steigung haben willst in dem der Graph die x-Achse schneidet (oder eben jeden anderen Punkt an dem du die Steigung/den Winkel wissen willst), dann setzt du in die Ableitung den x-Wert von

y = 0

ein (beim sin also

x = 0, π, . .

. - oder eben was du sonst über den gesuchten Punkt weißt) und erhältst damit den Wert für die Steigung. Um ihn in ° auszudrücken musst du auf diesen Wert noch den arctan loslassen und du bekommst den Winkel!

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13:06 Uhr, 09.08.2010

y-Achse oder x-Achse?

Edddi aktiv_icon

13:08 Uhr, 09.08.2010

...oh sorry, hab' zu schnell gelesen.

Du willst ja den Schnittwinkel von

f

mit der Y-Achse.

Dazu einfach

f' (0)

bestimmen, denn dies ist der Anstieg bei

x = 0

und somit der Anstieg bei der Y-Achse.

Bedenke das der Winkel zur Y_Achse dann aber der Restwinkel (Cotangens) des Anstieges ist.

cot (α) = \frac{1}{tan (α)} = \frac{1}{f' (0)}

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13:08 Uhr, 09.08.2010

y-Achse. Klingt komisch, ist aber so. Da gilt das selbe Verfahren?

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13:11 Uhr, 09.08.2010

Ich würde sagen

α = 90 - a r c t a n [f' (0)]

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13:14 Uhr, 09.08.2010

f' (0) = 1

und der arctan(1)= 45°

α = 90 - 45 = 45

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13:17 Uhr, 09.08.2010

Genau.

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13:18 Uhr, 09.08.2010

Nice ;-)

und wie war jetzt onchmal die Begründung dafür, dass es nun ist, wie es ist?

Edddi aktiv_icon

13:23 Uhr, 09.08.2010

...lies doch mal meinen letzten Beitrag (aber natürlich nicht diesen hier)

;-)

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13:25 Uhr, 09.08.2010

Ja hab ich schon mehrmals :-P)

cot (α) = \frac{1}{tan (α)} = \frac{1}{f'} (0)

das ist die sache, die ich daran nicht verstehe. Da fehlt mir halt wieder ein bisschen wissen der Trigonometrie warum der Winkel an der y-achse der cotangens ist.

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13:26 Uhr, 09.08.2010

Siehe Bild.

α

ist der Steigungswinkel der Tangente an der Stelle

0,

den man über

a r c t a n [f' (0)]

berechnet und

β

ist der Schnittwinkel mit der y-Achse. Die Winkelsumme im Dreieck beträgt immer 180°, demnach

α + β + 90 = 180 \Leftrightarrow α + β = 90 \Leftrightarrow β = 90 - α

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13:26 Uhr, 09.08.2010

Da ist kein Bild dran

: (

edit. ohja doch! ;-)

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13:35 Uhr, 09.08.2010

Edddi seinen Trigonometrieansatz kann man an meinem Bild jetzt auch zeigen. Offensichtlich gilt:

cot (β) = f' (0) \Leftrightarrow tan (β) = \frac{1}{f' (0)}

CedeXx aktiv_icon

13:37 Uhr, 09.08.2010

also durch die Ableitung

f' (0)

da ist mein Tiefpunkt und bzw der Punkt, von dem an ich dann im nächsten Abschnitt die Steigung bestimmen will. Und wenn ich den Winkel

α

habe, den ich berechnen kann, weil es eben der

{tan}^{- 1}

von

f' (0)

ist und wir suchen

β,

da das der Winkel ist, der die y-achse schneidet. und durch den Winkelsummensatz kommen wir dann nun letztendlich auf beta=90°-alpha

hey, vielen vielen Dank, das hat echt Spaß gemacht mit euch! :-)

Shipwater aktiv_icon

13:46 Uhr, 09.08.2010

So in etwa auch wenn das ganze nix mit Tiefpunkt zu tun hat :-)

CedeXx aktiv_icon

13:49 Uhr, 09.08.2010

Gut nun wirklich aber auch letzte Frage dazu.
Also ich weiß, dass der Tangens gegenkathe/ankathete ist und warum muss ich jetzt den arctan nehmen und nicht irgendwie arcsin oder was auch immer?

Shipwater aktiv_icon

13:59 Uhr, 09.08.2010

Siehe Bild. Die Steigung einer Geraden ist definiert als

m = \frac{Δ y}{Δ x}

. In diesem rechtwinkligen Steigungsdreieck kann man

Δ y

jetzt als Gegenkathete von

α

Δ x

als Ankathete von

α

auffassen, folglich:

tan (α) = \frac{Δ y}{Δ x} = m \Leftrightarrow α = a r c t a n (m)

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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