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Wie muss b sein damit der graph f durch P geht

Schüler

Tags: Gleichsetzungsverfahren, Graph, Koordinaten, Kosinus, Kurvenschar, Punkt, Sinus

Nwo8344 aktiv_icon

19:24 Uhr, 24.11.2021

Also ich brauche eine Formel mit welcher ich den wert

b

so ausrechnen kann das der Graph:

1035 sin (b) \frac{x}{1035 cos (b)} - 9.81 {(\frac{x}{1035 cos (b)})}^{3}

Durch einen Punkt

P

verläuft.
Dabei sollte (wenn möglich) nur das kleinste

b

die lösung dieser formel sein.

Im grunde genommen muss man ja den Punkt einsetzten und dann die funktion dem y-Wert des punktes gleichstellen und dann nach

b

auflösen. Jedoch weiß ich nicht wie ich hier vorgehen muss.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktionenschar (Mathematischer Grundbegriff)
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige trigonometrische Werte
Additionstheoreme
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie
Kosinus (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinussatz (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Ebene Geometrie - Einführung
Grundbegriffe der ebenen Geometrie
Lineare Gleichungssysteme
Sinus und Kosinus für beliebige Winkel

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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19:27 Uhr, 24.11.2021

Das geht nur mit einem Näherungsverfahren.

Nwo8344 aktiv_icon

19:39 Uhr, 24.11.2021

Mh ok ist nicht die optimallösung aber von daher, das ich das in ein programm nutzen werde könnte es genau genug sein. Jedoch würde ich gerne wissen warum man nur ein Näherungsverfahren anwenden kann.

Kartoffelchipsman aktiv_icon

23:25 Uhr, 24.11.2021

Lass mich raten,
Du willst den Winkel

b,

sodass ein Geschoss (oder was auch immer) mit

v_{0} = 1035 \frac{m}{s}

nach

x

Meter horizontaler Strecke die Höhe

y

Meter hat ?

Roman-22

15:22 Uhr, 25.11.2021

>

Lass mich raten,

>

Du willst

. .

.
Hast du also tatsächlich deine Kristallkugel ausgepackt und poliert ;-)
Gut möglich, dass es bloß darum geht, in einem Modell ohne Berücksichtigung des Luftwiderstands mit einem Parabelwurf ein bestimmtes Ziel zu treffen.
Nur, dann sollte es aber

\frac{9,81}{2}

anstatt nur

9,81

lauten und die

{(...)}^{3}

müssten dann auch

{(...)}^{2}

sein.
So viele "Tippfehler" auf einmal ...???

Aber auch wenn es so gemeint sein sollte, kann man sich der Aufgabe mit einem Näherungsverfahren nähern, obwohl hier zB mit

β = a r c c o s (\frac{x}{v_{0}} \cdot \sqrt{\frac{v_{0}^{2} - g \cdot y \pm \sqrt{v_{0}^{4} - 2 \cdot y \cdot g \cdot v_{0}^{2} - g^{2} \cdot x^{2}}}{2 \cdot (x^{2} + y^{2})}})

eine geschlossene Formel angebbar ist. Dabei liefert natürlich beim

\pm

das positive Vorzeichen den kleineren Abschusswinkel.

Kartoffelchipsman aktiv_icon

17:17 Uhr, 25.11.2021

Sollte das der Fall sein, Nwo8344, kann ich Dir das anbieten:

Zunächst gilt für die Flugbahn

(\begin{matrix} x = cos (α) \cdot v_{0} \cdot t \\ y = sin (α) \cdot v_{0} \cdot t - \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} x \\ y = \frac{sin (α)}{cos (α)} \cdot x - \frac{g}{2 \cdot {cos (α)}^{2} \cdot v_{0}^{2}} \cdot x^{2} \end{matrix})

Dabei sei

g \approx 9,81 \frac{m}{s^{2}}

die Gravitationskonstante,

t

die Zeit in Sekunden,

x

die waagrechten Weite sowie

y

die senkrechte Höhe

y

in Meter,

v_{0}

die Anfangsgeschwindigkeit in

\frac{m}{s}

in Richtung des
Erhebungswinkels

α

in Rad.

Um die Formel für

α

zu bestimmen, verwenden wir

{cos (α)}^{2} = \frac{cos (2 \cdot α) + 1}{2}, sin (α) \cdot cos (α) = \frac{sin (2 \cdot α)}{2},

cos (2 \cdot α) = \frac{1 - {tan (α)}^{2}}{1 + tan (α)}, sin (2 \cdot α) = \frac{2 \cdot tan (α)}{1 + tan (α)}

.
Nun folgt

y = \frac{sin (α)}{cos (α)} \cdot x - \frac{g}{2 \cdot {cos (α)}^{2} \cdot v_{0}^{2}} \cdot x^{2}

\Leftrightarrow

y \cdot {cos (α)}^{2} = sin (α) \cdot cos (α) \cdot x - \frac{g}{2 \cdot v_{0}^{2}} \cdot x^{2}

\Leftrightarrow

y \cdot cos (2 \cdot α) + y = sin (2 \cdot α) \cdot x - \frac{g}{v_{0}^{2}} \cdot x^{2}

\Leftrightarrow

y \cdot (1 - {tan (α)}^{2}) = 2 \cdot tan (α) \cdot x - (\frac{g}{v_{0}^{2}} \cdot x^{2} + y) \cdot (1 + {tan (α)}^{2})

\Leftrightarrow

- \frac{g}{v_{0}^{2}} \cdot x^{2} \cdot {tan (α)}^{2} + 2 \cdot x \cdot tan (α) - \frac{g}{v_{0}^{2}} \cdot x^{2} - 2 \cdot y = 0

\Leftrightarrow

{tan (α)}^{2} - \frac{2 \cdot v_{0}^{2}}{g \cdot x} \cdot tan (α) + 1 + \frac{2 \cdot y \cdot v_{0}^{2}}{g \cdot x^{2}} = 0

.

Mit der

p q

-Formel und dem

a r c t a n

ist dann die kleinere Lösung
(also der flachere Winkel), so es zwei gibt:

α = a r c t a n (\frac{v_{0}^{2}}{g \cdot x} - \sqrt{{(\frac{v_{0}^{2}}{g \cdot x})}^{2} - 1 - \frac{2 \cdot y \cdot v_{0}^{2}}{g \cdot x^{2}}})

.

Man mag die Formel noch nach Geschmack umgestalten.
Hier ein paar Ergebnisse:

x = 375

y = 115

v_{0} = 1035

α \approx 0,29928

Rad

\approx 17,147464

x = 150

y = 750

v_{0} = 1035

α \approx 1,37409

Rad

\approx 78,729556

x = 500

y = 135

v_{0} = 1035

α \approx 0,266003

Rad

\approx 15,240832

Roman-22

18:30 Uhr, 25.11.2021

>

Hier ein paar Ergebnisse:
Angesichts der mit dieser Geschwindigkeit erzielten Reichweite sind vl.Punktkoordinaten im zweistelligem km-Bereich angemessen.
Für

x, y > 0

sind deine Formel und die, die ich angab, gleichwertig, wobei die arccos Formel durch die verschachtelte Wurzel etwas aufwändiger ist. Dafür liefert sie auch für

x \leq 0

richtige Ergebnisse.
Wollte man auch Schüsse "nach hinten", also

x < 0

(und somit

β > 90^{\circ}),

berücksichtigen, müsste man deine Formel noch anpassen.
Aber warten wir ab, ob Nwo8344 noch Interesse zeigt und die Parabelwurf-These bestätigt, denn die Gleichung, die er angegeben hatte, passt ja nicht dazu, wie oben schon ausgeführt.

Nwo8344 aktiv_icon

17:03 Uhr, 26.11.2021

Also bisher schonmal danke für die ausführlichen Antworten. Zunächst ich habe immer noch Interesse, nur halt wenig Zeit :-) Aber ihr habt korrekt geraten. Es geht um die Berechnung eines Geschosses und so langsam fange ich an an meinem Ansatz zu zweifeln.

Ich werde mich mal mit den Vorschlägen beschäftigen und danach mal berichten was ich so herausfinden kann. Bisher schonmal Danke.

Nwo8344 aktiv_icon

17:39 Uhr, 26.11.2021

Als allererstes ein Dankeschön an Roman-22 denn die Formel die du angegeben hast funktioniert. Des weiteren war mein Ansatz falsch was ich anhand des Diagrammes sehen konnte, da die Kugel viel zu kurz flog.

Kartoffelchipsman aktiv_icon

18:42 Uhr, 26.11.2021

...sowie

y

die senkrechte Höhe in Meter,...

statt

...sowie

y

die senkrechte Höhe

y

in Meter,...

in meinem zweiten Beitrag, sorry.

Übrigens hatte ich die Vermutung,
ob Du eine Flugbahn meinst und nicht "ihr",
worauf Du allerdings nicht geantwortet hast.
Aber schön, dass Du am Graphen dann erkannt hast,
dass Deine Formel wohl nicht korrekt ist,
wo ja ein jeder weiß, dass Dinge wie Faktoren und
Exponenten total belanglos sind...

Kartoffelchipsman aktiv_icon

21:15 Uhr, 29.11.2021

Compilation mit "Making of

a r c c o s -

Formel"...

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