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n-te Einheitswurzel

Universität / Fachhochschule

Tags: Exponentialfunktion, Trigonometrische Funktionen

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19:51 Uhr, 29.04.2019

Mir scheint als wäre ich zu unfähig, um die n-te Einheitswurzel von 1 zu berechnen.
Die Formel dafür ist ja

⋆_{k} := e^{i (\frac{2 π k}{n})}

mit

k = 0, . . ., n - 1

Mit

⋆_{k}^{n}

, kommt doch 1 heraus oder?
Wenn ich

n = 4

und

k = 3

wähle, erhalte ich

⋆_{3} := e^{i (\frac{2 π 3}{4})}

.
Wenn ich jetzt aber

⋆_{3}

hoch 4 nehme erhalte ich

1 - 2.44929359829 * 1 0^{(- 16)} i

Da liegt zwar schon nahe an 1, aber es ist nicht 1. Wieso?

Bei

e^{i (\frac{2 π 3 * 4}{4})}

erhalte ich

1 - 7.34788079488 * 1 0^{(- 16)} i

. Hier ist jetzt aber mein Taschenrechner zu inkompetent oder???????

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Tangensfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Allgemeine Exponentialfunktion - Einführung
Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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20:32 Uhr, 29.04.2019

.
die n-ten Einheitswurzeln sind die Lösungen der Gleichung

z^{n} = 1

Ansatz : es ist

\to 1 = e^{2 \cdot k \cdot π \cdot i} . .

. für

k \in ℤ ...

(⋆ ⋆ ⋆)

\Rightarrow

die

n

verschiedenen Lösungen von

z^{n} = 1

sind dann

z_{k} = e^{\frac{2 \cdot k \cdot π}{n} \cdot i} ... ... . .

. für

k = 0,1, ...

(n - 1)

Beispiel

n = 4 \to z^{4} = 1 \Rightarrow

z_{k} = e^{\frac{2 \cdot k \cdot π}{4} \cdot i} ... ... . .

. für

k = 0,1,2,3

\to z_{3} = e^{\frac{6 \cdot π}{4} \cdot i}

Probe

{(z_{3})}^{4} = {[e^{\frac{6 \cdot π}{4} \cdot i}]}^{4} = e^{(6 \cdot π) \cdot i} = 1 . .

. (siehe oben->

⋆ ⋆ ⋆)

und zwar genau

= 1 ...

. DA BRAUCHST DU KEINEN TR !

wo ist da ein Problem ?

.

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