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1. Ableitung bestimmen

Schüler Berufliches Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Ableitung, Funktion

Alpine aktiv_icon

13:19 Uhr, 14.02.2009

Hallo,

Kann mir jemand bei der 1. Ableitung von der Funktion auf dem Bild helfen? Komme mit der Ableitung des Tangens und den Bruchstrichen nicht so richtig klar.

Gruß Max

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
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deadmanwalking aktiv_icon

13:35 Uhr, 14.02.2009

Vereinfach die Funktion mal auf

f (α) = 1 - \frac{1}{4} \cdot tan (α) + \frac{1}{2 \cdot cos (α)}

(Bruch auseinandergezogen, beim 2. Doppelbruch aufgelöst)

das kannst du jetzt ableiten:

tan (α)

abgleitet gibt

\frac{1}{{cos}^{2} (α)}

also:

f' (α) = - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{cos}^{2} α} - \frac{1}{2 \cdot {cos}^{2} (α)}

alles klar?

Akonia

13:43 Uhr, 14.02.2009

@deadmanwalking

wie kommst du auf den letzten bruch bei der ableitung? ich erhalte da etwas anderes:

ich komme auf

\frac{sin (α)}{2 \cdot {cos}^{2} (α)}

also insgesamt auf:

f' (α) = - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{cos}^{2} (α)} + \frac{sin (α)}{2 \cdot {cos}^{2} (α)} = \frac{2 \cdot sin (α) - 1}{4 \cdot {cos}^{2} (α)}

ich habe es etwas anders gerechnet als du, komme aber auch dann auf das was ich grad geschrieben habe. (vllt hab ich mich aber auch verrechnet)

deadmanwalking aktiv_icon

13:46 Uhr, 14.02.2009

naja ich komm da drauf, ich habe halt das

\frac{1}{2 \cdot cos (α)}

als

\frac{1}{2} \cdot {cos}^{- 1} (α)

angeschrieben, dann

\frac{1}{2}

als konstante bleibt stehen,

- 1

als hochzahl kommt vor, hochzahl wird

- 2

und somit kommt

- \frac{1}{2 \cdot {cos}^{2} (α)}

raus....

Akonia

13:48 Uhr, 14.02.2009

und nachdifferenzieren???

- \frac{1}{2 \cdot {cos}^{2} (α)} \cdot (- sin (α))

deadmanwalking aktiv_icon

13:49 Uhr, 14.02.2009

hm.... kein schlechtes argument :-)

ja, das hab ich offensichtlich vergessen..... scheiß 1 als hochzahl, dass man da kettenregel braucht..... sorry

Alpine aktiv_icon

13:53 Uhr, 14.02.2009

Danke an euch beide für die schnelle Hilfe :-)

Würdet ihr mir noch kurz erklären wir man darauf kommt? Weil ich wills ja verstehen und nicht nur einfach die Lösung kennen ;-)

deadmanwalking aktiv_icon

13:59 Uhr, 14.02.2009

naja, wie man die funktion auf das obenstehende umformt ist dir klar? wenn nicht, nochmal melden

dann leitest du alles einzeln ab.

1 abgeleitet fällt weg, tan leitest du eben auf

\frac{1}{{cos}^{2}}

ab, und beim hinteren bruch leitest du nach der kettenregel ab. hochzahl

(- 1)

nach vor, hochzahl um 1 erniedrigen, also

- 2

(kommt dann in den nenner mit hochzahl

2)

dann noch mal die innere ableitung des

cos,

also

- sin

(das - vom sinus und das

- 1

von der hochzahl heben sich wieder auf

+

auf)

alles klar?

Akonia

14:01 Uhr, 14.02.2009

die brüche zu vereinfachen von deadmanwalking ist schon ienmal ein guter anfang, soweit solltest du es noch nachvollziehen können, es steht nun:

f (α) = 1 - \frac{1}{4} \cdot tan (α) + \frac{1}{2 \cdot cos (α)}

nun musst du das ableiten, zunächst den ersten teil, hierzu benötigst du die ableitung des tangens, lässt sich mit ner nebenrechnung leicht herausfinden:

tan (α) = \frac{sin (α)}{cos (α)}

das nach quotientenregel ableiten:

\frac{{cos}^{2} (α) + {sin}^{2} (α)}{{cos}^{2} (α)}

laut dem trigonometrischen pythagoras ist

{cos}^{2} (α) + {sin}^{2} (α)

gleich

1,

also ist die ableitung des

tan :

\frac{1}{{cos}^{2} (α)}

den ersten teil abgeleitet ergibt also:

- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{cos}^{2} (α)}

den zweiten teil haben wir ja gerade diskutiert (mit nachdifferenzieren und so.... quotientenregel ginge bei

\frac{1}{2 \cdot cos (α)}

natürlich auch).

es kommmt heraus:

\frac{sin (α)}{2 \cdot {cos}^{2} (α)}

also zusammengefasst

f' (α) = - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{cos}^{2} (α)} + \frac{sin (α)}{2 \cdot {cos}^{2} (α)} = \frac{2 \cdot sin (α) - 1}{4 \cdot {cos}^{2} (α)}

EDIT: war zu langsam

Alpine aktiv_icon

14:24 Uhr, 14.02.2009

Ok glaube ich komme solangsam drauf. Nur was ist dass mit dem Nachdifferenzieren? Und wie hast du das am Ende auf ein Bruchstrich zusammengefasst?

Danke für eure Geduld mit mir :-D)

deadmanwalking aktiv_icon

14:29 Uhr, 14.02.2009

kettenregel brauchst du wegen der verkettung von mehreren funktionen..... erstmal das hoch

- 1,

dann der cosinus an sich.

man leitet zuerst die "äußerste" funktion ab, also in dem fall das hoch

- 1

.
dann das nachdifferenzieren (vielleicht sagt dir der ausdruck "innere ableitung" was, das ist gleichbedeutend dem "nachdifferenzieren"), also du musst noch die innere funktion, den cosiuns an sich ableiten

- \to

ergibt

- sin

der bruch am ende ist einfach die drei brüche zusammengefasst, einmal mit multiplikation, dann bruchaddition....

alles klar?

grüße

Alpine aktiv_icon

14:36 Uhr, 14.02.2009

Achso ja klar innere Ableitung. Denke mal jetzt ist alles klar.

Vielen Dank nochmal an euch 2 :-)

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