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1.Ableitung von [cos(2x)] / [sin(2x)] (ist Bruch)

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Ableitung, Gewöhnliche Differentialgleichungen

jiji1 aktiv_icon

14:52 Uhr, 11.04.2012

Hi,

ich brauch mal wieder eure Hilfe

\land

Es geht mal wieder um die 1. Ableitung. Dieses mal aber von der Funktion

f (x) = \frac{cos (2 x)}{sin (2 x)}

Mein erster Schritt wäre jetzt

f´(x)

= cot (2 x)

Und jetzt ????????? Wie muss ich jetzt weiter vorgehen?

lg jiji1

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irena

14:57 Uhr, 11.04.2012

Hallo,
bleibe lieber bei

f (x) = \frac{cos (2 x)}{sin (2 x)}

und wende die Quotientenregel an.

Bummerang

15:35 Uhr, 11.04.2012

Hallo irena,

wieso sollte man nicht die Ableitung für den Kotangens benutzen? Der steht in Formelsammlungen und dann bleibt am Ende nur die Anwendung der Kettenregel, die dann einfach ist.

DerAlbert aktiv_icon

15:38 Uhr, 11.04.2012

Ja genau, bleib, wie irena das sagte, bei deiner Ausgangsform.
Wende die Quotientenregeln an und darin musst du dann noch die Kettenregel anwenden, zb.

f (x) = c o s (2 x) \Rightarrow f ´ (x) = - 2 s i n (2 x)

DerAlbert aktiv_icon

15:40 Uhr, 11.04.2012

Jo das stimmt zwar das man alles in der Formelsammlung nachlesen kann, aber dann kann man aber auch einfach die Ausgangsfunktion nachlesen.
Meineswissens hilft das aber dann nicht weiter, wenn man alles abliest. Ich würde lieber versuchen zu rechnen. Bringt aus Erfahrung mehr als alles ausm Buch abzuschreiben.

jiji1 aktiv_icon

15:53 Uhr, 11.04.2012

Hi,
Ok nach der Quotientenregel
Das heisst also

Zähler: (u´(x)*v(x)-u(x)*v´(x)
Nenner:

(v^{2} (x))

Für die Funktion

\frac{cos (2 x)}{sin (2 x)} = (\frac{u (x)}{v (x)})

u (x) = cos (2 x)

u´(x)

= - sin (2 x) \cdot (2 x)

u´(x)

= - 2 \cdot sin (2 x) \cdot (x)

Somit ist letztendlich die 1. Ableitung von

u (x)

u´(x)

= - 2 \cdot sin (2 x)

v (x) = sin (2 x)

v´(x)

= cos (2 x) \cdot (2 x)

v´(x)=

2 \cdot cos (2 x) \cdot (x)

Somit ist letztendlich die 1.Ableitung von

v (x)

v´(x)

= 2 \cdot cos (2 x)

Das jetzt in die Quotientenregel(die ich oben hingeschrieben habe) einsetzten

f´(x)

= \frac{- 2 \cdot sin (2 x) \cdot sin (2 x) - cos (2 x) \cdot 2 \cdot cos (2 x)}{sin (2 x) \cdot sin (2 x)}

Ist das so nach der Quotientenregel richtig ? Wenn möglich bitte rechenfehler korrigieren

Vielen Dank

DerAlbert aktiv_icon

15:58 Uhr, 11.04.2012

Jo das sieht gut aus. Und nun noch ein bissel zusammenfassen und du bist fertig.

Also:

f ´ (x) = - 2 (1 + c o t^{2} (2 x))

Ich habe die Regeln jetzt nicht alles aufgeschrieben, denke das bekommst du selber hin.

Gruss

Paulus

16:08 Uhr, 11.04.2012

Hallo

Das könnte noch einfacher aussehen durch folgende Umformung:

1 + {cot}^{2} u =

1 + \frac{{cos}^{2} u}{{sin}^{2} u} =

\frac{({sin}^{2} u) + ({cos}^{2} u)}{{sin}^{2} u} =

\frac{1}{{sin}^{2} u}

Damit erhältst du für deine Ableitung:

\frac{- 2}{{sin}^{2} (2 x)}

Gruss

Paul

jiji1 aktiv_icon

16:08 Uhr, 11.04.2012

Ich versteh jetzt aber nicht wie einer der Mitstudenten aus das Endergebnis
f´(x)=

- \frac{{sin (x)}^{4} + 2 \cdot {cos (x)}^{2} \cdot {sin (x)}^{2} + {cos (x)}^{4}}{2 \cdot {cos (x)}^{2} \cdot {sin (x)}^{2}}

Kann mir jemand von euch rechnerisch zeigen wie man auf dieses Ergebnis, das hier oben steht, kommt?

Kommt dabei letztendlich das gleiche raus was der DerAlbert mir geschrieben hat?

f´(x)

= - 2 \cdot (1 + {cot}^{2} \cdot (2 x))

Paulus

16:14 Uhr, 11.04.2012

Hallo jiij

Es gilt ja:

sin (2 x) = 2 \cdot sin (x) \cdot cos (x)

und für

cos (2 x)

eine entsprechende Formel.

Ich denke, dadurch ist er darauf gekommen.

Vermutlich kann dann aber noch weiter zusammengevereinfacht werden.

Aus meinen letzten Beitrag siehst du ja:

f (x)' = \frac{- 2}{{sin}^{2} (2 x)}

Das wird dann zu

\frac{- 2}{{(2 \cdot sin (x) \cdot cos (x))}^{2}} =

\frac{- 2}{4 \cdot {sin}^{2} (x) \cdot {cos}^{2} (x)} =

\frac{- 1}{2 \cdot {sin}^{2} (x) \cdot {cos}^{2} (x)}

Gruss

Paul

DerAlbert aktiv_icon

16:16 Uhr, 11.04.2012

Jo kann man machen,

also er hat das so gemacht. Er hat die doppelten Winkel umgestellt.
Also:

c o s (2 x) = c o s^{2} (x) - s i n^{2} (x) = 1 - 2 s i n^{2} (x) = 2 c o s^{2} (x) - 1

s i n (2 x) = 2 s i n (x) c o s (x)

einsetzen und dann kommt das gesunchte Ergebnis von deinem Mitstudenten raus.

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