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Ableiten der Störfunktion einer DGL 2.Ordnung

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Ableitung

1nfinity aktiv_icon

15:16 Uhr, 08.07.2010

hallo zusammen,

meine rechnung geht nicht auf. habe eine dgl 2. ordnung:

y'' - 4 y' + 4 y = 4 e^{2} x

allgemeine homog. lösung:

y = (C 1 x + C 2) e^{2} x

störfunktion yp macht mir probleme:

yp = Ax²

e^{2} x

die mit produktregel 2 mal ableiten..
könnte hilfe gebruachen.meine ableitungen gehen nciht ganz auf und ich kann nichts kürzen.
danke im voraus
grüße, infinity

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Manuel93 aktiv_icon

15:40 Uhr, 08.07.2010

Hey,

also für die allg. homogene Form habe ich raus

: y = (c_{1} + c_{2}) \cdot e^{2 x}

Und für die spezielle kommt bei mir heraus

: y = (x + 1) \cdot e^{2}

Summa summarum komme ich also auf

f (x) = (c_{1} + c_{2}) \cdot e^{2 x} + (x + 1) \cdot e^{2}

Für die spezielle musst du

y =

Ax+B setzen, da es sich bei

4 e^{2} x

um ein Polynom ersten Grades hält.

Lg, Manuel

1nfinity aktiv_icon

15:47 Uhr, 08.07.2010

aber die homogene lösung ist mit mitternachtsformel lamda

1 =

lamda

2 = 2

somit ist das der 2. fall der allgemeinen lösung:

y = (c 1 x +

c2)e^cx

dann muss ich auch bei der störfunktion der eponantialfunktionen den 3. fall nehmen : "c ist eine doppelte lösung der characteristischen gleichung"

somit ist der ansatz: yp = Ax²

\cdot

e^cx

die allgemeine lösung der inhomogenen lösung lautet:

y (x) =

y0(x)+yp(x)=

(C 1 + C 2 x +

2x²)

e^{2} x

ich komme aber nicht drauf

\frac{:}{}

help plz

Manuel93 aktiv_icon

15:53 Uhr, 08.07.2010

Mhm, seltsam.
Ich habe die Rechnung jetzt einfach mal durch Wolfram|Alpha gejagt. Ein

x

hinter einer der Konstanten habe ich wirklich übersehen, hehe.
Dennoch scheint der Rest zu stimmen, soweit die Differentialgleichung

y'' - 4 y' + 4 y = 4 e^{2} x

lautet, und nicht

y'' - 4 y' + 4 y = 4 e^{2 x}

.
Demnach tut es mir leid, wenn ich nicht weiter helfen kann. ;-)

Lg

1nfinity aktiv_icon

15:56 Uhr, 08.07.2010

ach scheisse ich hab die aufgabe in der hektik falsch aufgeschrieben!!!

sorry du hast natürlich recht.

y'' - 4 y' + 4 y = 4 e^{2 x}

1nfinity aktiv_icon

16:15 Uhr, 08.07.2010

also ich habe mal wie folgt abgeleitet unter berücksichtigung der produktregel, versteht sich:

yp = Ax²

e^{2 x}

y' p =

2Ax

e^{2 x}

+2Ax²

e^{2 x}

Y'' p = 2 A e^{2 x}

+4Ax

e^{2 x} +

4Ax

e^{x}

+4Ax²

e^{2 x}

kann das jemand bestätigen?

Manuel93 aktiv_icon

16:24 Uhr, 08.07.2010

Soweit bin ich jetzt beim Nachrechnen mit den Ableitungen auch gekommen - richtig.

y'' = 2 A e^{2 x} + 8 A x e^{2 x} + 4 A x^{2} e^{2 x},

um es einmal zu verkürzen.

Jedoch frage ich mich gerade, warum man

y = A x^{2} e^{2 x}

wählt. Also woher nimmst du

A x^{2}

1nfinity aktiv_icon

16:27 Uhr, 08.07.2010

ok. also du hast ja mit der mitternachtsformal die 2 lamdas berchnet, oder?

und da erhälst du ja für beie lamdas den gleichen wert. ok wenn du lamda

1 =

lamda

2 = 2

(also sprich den gleichen wert erhälst) so muss du bei den störfunktionen auch berücksichtigen, dass du fall

3 :

"c ist doppelte lösung der characteristischen gleichung" wählst.

Papula band

2,

seite

491

falls du den da haben solltest.

das

C

bezihet sich auf die 2 gleichen lamdas. ich weis nciht ob ich das verständlich rübergebracht habe

Manuel93 aktiv_icon

12:02 Uhr, 09.07.2010

Oh Gott. Wir sind ja sowas von clever. :-D)
Wir haben schon alles berechnet was man braucht, kamen aber beim einfachsten nicht weiter - hehe.

y'' - 4 y' + 4 y = 4 e^{2 x}

y = A x^{2} e^{2 x}

y' = 2 A x e^{2 x} + 2 A x^{2} e^{2 x}

y'' = 2 A e^{2 x} + 8 A x e^{2 x} + 4 A x^{2} e^{2 x}

2 A e^{2 x} + 8 A x e^{2 x} + 4 A x^{2} e^{2 x} - 8 A x e^{2 x} - 8 A x^{2} e^{2 x} + 4 A x^{2} e^{2 x} = 4 e^{2 x}

Daraus folgt :

2 A e^{2 x} = 4 e^{2 x}

also

A = 2

Somit ist die Lösung

: f (x) = c_{1} e^{2 x} + c_{2} e^{2 x} x + 2 e^{2 x} x^{2}

Gibt es Einwände? Hoffe es hat geholfen. :-P)

LG

1nfinity aktiv_icon

12:46 Uhr, 09.07.2010

jupps, gleich abgeleitet wie ich oben :-)

und das ergebnis ist auch richtig.
danke für support!

grz, infinity!

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