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Ableiten einer Funktion zum Quadrat

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Ableitung, Differentialrechnung

anonymous

17:56 Uhr, 03.11.2011

Hey,

ich habe Probleme beim Ableiten folgender Funktion:

l^{2} (x_{p}) = 2 + 2 (e^{x_{p}} + e^{- x_{p}}) + e^{2 x_{p}} + e^{- 2 x_{p}}

Das Quadtrat irritiert mich..

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
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Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
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Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)
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18:04 Uhr, 03.11.2011

Wie ist denn der komplette Aufgabebtext?
geht es nur darum einen Extremwert zu berechnen?

anonymous

18:05 Uhr, 03.11.2011

Das Minimum soll berechnet werden, ja ;-)

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18:13 Uhr, 03.11.2011

Dann würde ich mir erstmal einfach

l^{2} (x_{p})

zB. als

f (x_{p})

vorstellen und ganz normal nach

x_{p}

ableiten und wie gewohnt nullsetzen.
(die waagrechten Tangenten des Quadrates einer Funktion sind nämlich auch die wagrechten Tangenten der Funktion). Probiers mal.
;-)

anonymous

18:23 Uhr, 03.11.2011

Also setzte ich

l^{2} (x_{p}) = f (x_{p}),

bilde dann die erste Ableitung und habe dann die lösung, ohne dass ich noch etwas rücksubstituieren muss, richtig?

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18:27 Uhr, 03.11.2011

erstmal würde ich schauen, was da dann rauskommt, ob es

z . B

. nur einen Extremwert gibt bzw. nur ein Minnimum gibt oder mehrere Extremwerte.
Dann erst, siehst Du weiter, denn die Ableitung der Wurzelfunktion würde etwas komplizierter, sofern erforderlich.

anonymous

18:37 Uhr, 03.11.2011

Ich komme auf

f' (x) = - 2 e^{- x_{p}} - 2 e^{- 2 x_{p}} + 2 e^{2 x_{p}} + 2 e^{x_{p}}

Nullsetzen:

0 = - 2 e^{- x_{p}} - 2 e^{- 2 x_{p}} + 2 e^{2 x_{p}} + 2 e^{x_{p}}

Das sieht alles ziemlich wild aus.. wie komme ich hier nun auf

x

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18:40 Uhr, 03.11.2011

ja, da habe ich auch schon rumprobiert, wie man da weiterkommt.
eine Möglichkeit ist

2 \cdot e^{- 2 x_{p}}

auszuklammern.
Dann hast Du zwei unterschiedliche Faktoren, die Du nacheinander untersuchen kannst.

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18:44 Uhr, 03.11.2011

übrigens kann ich jetzt leider nicht mehr weitermachen und gehe jetzt raus.
viel Erfolg weiterhin.

anonymous

18:57 Uhr, 03.11.2011

okay..

0 = 2 e^{- 2 x} (- e^{x} + e^{3 x} + e^{4 x} + 1)

Also

2 e^{- 2 x} = 0

oder

- e^{x} + e^{3 x} + e^{4 x} + 1 = 0

Kann man das erste nicht nach

x

auflösen?

funke_61 aktiv_icon

08:53 Uhr, 04.11.2011

bei einem Vorzeichen hast Du Dich verrechnet
(und schön, wenn wir den Index jetzt weglassen können)
Du schriebst oben:

0 = - 2 e^{- x} - 2 e^{- 2 x} + 2 e^{2 x} + 2 e^{x}

daraus

+ 2 e^{- 2 x}

ausgeklammert:

0 = 2 e^{- 2 x} (- e^{x} - 1 + e^{4 x} + e^{3 x})

Zu Deiner Frage eine Gegenfrage:
Hat

e^{x}

bzw.

e^{- x}

Nullstellen?

Dann für den zweiten Faktor dieser Umformungstipp:

(- e^{x} - 1 + e^{4 x} + e^{3 x}) = 0

- e^{x} + e^{4 x} + e^{3 x} = 1

und jetzt brauchts eine Idee, welches

x

diese Gleichung erfüllt.

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09:10 Uhr, 04.11.2011

Eine andere Möglichkeit die Nullstellen der Ableitung zu finden wäre,
zu erkennen, dass sich in der Ableitung

f' (x) = 2 (e^{x} - e^{- x}) + 2 (e^{2 x} - e^{- 2 x})

die Summe aus zwei Hyperbelfunktionen versteckt.
Hattet Ihr

cosh

und

sinh

im Unterricht?
;-)

anonymous

16:25 Uhr, 04.11.2011

Ja stimmt, klar ;-)

Demnach müssen wir uns, um die Nullstellen zu ermitteln, nur

- e^{x} - 1 + e^{4 x} + e^{3 x} = 0

angucken, denn

2 e^{- 2 x} = 0

hat keine Lösung, da der Ausdruck keine Nullstelle hat. Richtig?

Und wenn ich das mache wie du sagst:

- e^{x} + e^{4 x} + e^{3 x} = 1

Dann erhalte ich als mögliche Nullstelle auf jeden Fall schon einmal die

0,

denn

- 1 + 1 + 1 = 1

.

Also

x = 0

. Nun stellt sich mir die Frage, ob es noch eine weitere Nullstelle gibt.

(Über

cosh

und

sinh

habe ich noch nichts gehört, nein ;-) )

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09:58 Uhr, 07.11.2011

gut kombiniert.

x = 0

ist Nullstelle unserer Ableitung :-)

Ob

f' (x)

noch weitere Nullstellen hat, kann man sich auch am Verlauf einer Funktion

e^{x} - e^{- x}

bzw.

e^{2 x} - e^{- 2 x}

klarmachen.
Also zB. einige Werte einsetzen um den Veraluf zu bestimmen.

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