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Ableiten - fxx/fyy

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Ableitung, Differentiation

ZwerGsii aktiv_icon

13:23 Uhr, 21.02.2013

Hab hier ein Bsp.: und bin mir beim Ableiten ziemlich unsicher! Bitte um Hilfe!
Dankeschön! :-)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Ableitungsregeln für Polynomfunktionen
Extrema / Terrassenpunkte
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Edddi aktiv_icon

13:39 Uhr, 21.02.2013

. .

. einfach konsequent ableiten!

z = ln (\sqrt{x^{2} + y^{2}})

erstmal vereinfachen:

z = \frac{1}{2} \cdot ln (x^{2} + y^{2})

wegen der Symmetrie reicht es, nach nur einer Variablen abzuleiten, die andere Ableitung ist ergibt sich nachher analog durch vertauschen der Variablen:

z = \frac{1}{2} \cdot ln (x^{2} + y^{2})

z_{x} = \frac{1}{2} \cdot (ln (x^{2} + y^{2}))' = \frac{1}{2} \cdot \frac{(x^{2} + y^{2})'}{x^{2} + y^{2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot x}{x^{2} + y^{2}} = \frac{x}{x^{2} + y^{2}}

diese nun nochmal abgeleitet nach

x

ergibt:

z_{x x} = (\frac{x}{x^{2} + y^{2}})' = \frac{x' \cdot (x^{2} + y^{2}) - x \cdot (x^{2} + y^{2})'}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} = \frac{(x^{2} + y^{2}) - 2 \cdot x^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} = \frac{y^{2} - x^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}

und somit

z_{y y} = \frac{x^{2} - y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} = - \frac{y^{2} - x^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} = - z_{x x}

Nun rechne doch mal zusammen:

z_{x x} + z_{y y} = z_{x x} + (- z_{x x}) = ...

.

;-)

ZwerGsii aktiv_icon

14:21 Uhr, 21.02.2013

AH ok du verwendest bei fx die ableitung der logarithmischen differenziation also f'(x)/f(x) :-)

Edddi aktiv_icon

15:26 Uhr, 21.02.2013

. .

. ich habe kein "f(x)" bei mir drin. Verwende bitte, um Missverständnisse zu vermeiden, auch nur die Ausdrücke die in den Post's vorkommen. (Also nix Neues dazu erfinden)

Ich habe einfach nur die normale Kettenregel und die Quotientenregel angewendet.

Du meinst sicherlich

[ln (f (x))]' = \frac{f' (x)}{f (x)}

die "logarithmische Differentiation" ist etwas anderes, diese wird angewendet wenn viele Faktoren abgeleitet werden sollen.

zB.

y = u \cdot v \cdot w

ln (y) = ln (u \cdot v \cdot w)

ln (y) = ln (u) + ln (v) + ln (w)

\frac{1}{y} \cdot \frac{d y}{d x} = \frac{u'}{u} + \frac{v'}{v} + \frac{w'}{w}

\frac{d y}{d x} = (\frac{u'}{u} + \frac{v'}{v} + \frac{w'}{w}) \cdot y

y' = (\frac{u'}{u} + \frac{v'}{v} + \frac{w'}{w}) \cdot y

sieht zwar etwas komplizierter aus wie die Anwedung der Pruduktregel, kann aber machmal nützlich sein. So

z . B

. auch bei Potenzformen.

Den multiplizert man dies aus, erhält man wieder:

y' = (\frac{u'}{u} + \frac{v'}{v} + \frac{w'}{w}) \cdot y

y' = (\frac{u'}{u} + \frac{v'}{v} + \frac{w'}{w}) \cdot u \cdot v \cdot w

y' = \frac{u'}{u} \cdot u \cdot v \cdot w + \frac{v'}{v} \cdot u \cdot v \cdot w + \frac{w'}{w} \cdot u \cdot v \cdot w

y' = u' \cdot v \cdot w + v' \cdot u \cdot w + w' \cdot u \cdot v

;-)

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