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Ableitung 5.71

Universität / Fachhochschule

Tags: Ableitung, Vollständig Induktion

WesleyCrusher aktiv_icon

16:11 Uhr, 23.06.2022

Hallo zusammen, ich hab folgende Aufgabe und wollte sie von euch mal überprüfen lassen.

Aufgabe: Beweise durch

V . I

. über

n \in ℕ,

dass sie n-te Ableitung

der Funktion

f (x) = e^{k \cdot x - k^{2}}

mit

k \in ℝ

durch die Formel

f^{(n)} (x) = k^{n} \cdot e^{k \cdot x - k^{2}}

berechnet werden kann.

I-Anfang: Für

n = 1

bilden wir die erste Ableitung:

f^{'} (x) = {(e^{k \cdot x - k^{2}})}^{'} = f^{(1)} (x) = k^{1} \cdot e^{k \cdot x - k^{2}}

Damit gilt der I.Anfang.

I.Annahme:

Sei

n \geq 1

und

f^{(n)} (x) = k^{n} \cdot e^{k \cdot x - k^{2}}

I.Schritt:

z . z,

das diese Annahme

f^{(n + 1)} (x) = k^{n + 1} \cdot e^{k \cdot x - k^{2}}

impliziert.

Es gilt:

f^{(n + 1)} (x) = {(f^{(n)} (x))}^{'} =

(I.Annahme)

{(k^{n} \cdot e^{k \cdot x - k^{2}})}^{'} = k \cdot k^{n} \cdot e^{k \cdot x - k^{2}} = k^{n + 1} \cdot e^{k \cdot x - k^{2}} □

Danke schonmal.

LG Wesley

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"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

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