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Ableitung, Anwendung, Berührproblem

Schüler

Tags: Ableitung, Gleichungen

sanju aktiv_icon

18:49 Uhr, 10.03.2014

Hey, ich bin auf einem Gymnasium (10.Klasse) und schreibe sehr bald (diese Woche noch) eine Mathe Klausur. Ich war das erste Halbjahr nicht da und habe deshalb einiges verpasst und stehe bei dieser aufgabe auf dem schlauch!
Ich würde mich echt freuen wenn mir jemand hilft!

Wie muss a gewählt werden, damit der Graph von

f (x) =

a+x² die Winkelhalbierende

g (x) = x

berührt? Wie Lautet die Gleichung der Berührungstangente ?

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18:59 Uhr, 10.03.2014

Setze:f(x)=g(x)

a + x^{2} = x

x^{2} - x + a = 0

Jetzt pq-Formel verwenden und deren Diskriminante Null setzen. Damit bekommt du den Berührpunkt

x_{B}

.

Tangente hat die Gleichung:

y = (x - x_{B}) \cdot f' (x_{B}) + f (x_{B})

sanju aktiv_icon

19:23 Uhr, 10.03.2014

Den Ansatz mit dem Gleichsetzen hatte ich auch schon. Nur kann ich ja jetzt nicht die pq formel anwenden, da ich die variable a habe, oder=
und was ist eine diskriminante?

sanju aktiv_icon

19:58 Uhr, 10.03.2014

achso ich hab es verstanden, die diskriminante ist gleich

0!

Deine Tangentengleichung verstehe ich jedoch nicht, ich hätte jetzt y=mx+b benutzt, die steigung an der stelle

m

ausgerechnet und einen punkt eingesetzt und htte somit y=mx+b ausgefüllt??

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19:59 Uhr, 10.03.2014

Diskriminante:

\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}

p = 1; q = a

sanju aktiv_icon

20:04 Uhr, 10.03.2014

dake das hab ich jetzt verstanden und was ist mit der tagente=

Femat aktiv_icon

20:05 Uhr, 10.03.2014

Hi
Ich hätte das Problem folgendermassen gelöst:

f (x) = x^{2} + a

f' = 2 x

und da

g

die Steigung 1 hat muss auch die Funktion

f

im Berührungspunkt die Steigung 1 haben also die erste Ableitung 1 sein

2 x = 1

x = \frac{1}{2}

Der Berührpunkt ist also bei

x = \frac{1}{2}

und

y = \frac{1}{2}

Das in die Funktionsgleichung einsetzen

{(\frac{1}{2})}^{2} + a = \frac{1}{2}

also ist

a = \frac{1}{4}

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20:07 Uhr, 10.03.2014

Danke Femat, so macht man das wohl eher in der 10.Klasse. :-))

sanju aktiv_icon

20:09 Uhr, 10.03.2014

Dankeschön ihr beiden :-) und wie mache ich das jetzt mit der tangente? also geht

m

ein weg (y=mx+b) auch? (siehe oben)

Gwunderi aktiv_icon

20:16 Uhr, 10.03.2014

Hätte es genau so gelöst wie Femat, da es ja auch um Ableitungen geht (laut Titel).
Deine Formel y = mx + b für die Tangente ist völlig richtig, nur scheint es mir etwas eine "Fangfrage" zu sein, denn die Tangente ist ja schon gegeben, brauchst sie gar nicht erst auszurechnen. Siehst Du, wie sie lautet?

Oops, @supporter: Hatte Deine Bemerkung von der 10. Klasse gar nicht gelesen ...

sanju aktiv_icon

20:20 Uhr, 10.03.2014

Ja..ich weiß was du

m

einst aber ich habe jetzt gedacht dass das nur die "Winkelhalbierende" ist und ich die normale Berührtangente zur veranschaulichung ausreche..
Das ist meinWEG:
y=mx+b

P (1 | 1,25) (y

hab ich ausgerechnet);

m = 2 (

an der stelle

x = 1)

- \to 1,25 = 2 \cdot 1 + b

b = - 0,75

Ist das richtig, denn dann hätte ich

y = 2 x - 0,75

Gwunderi aktiv_icon

20:30 Uhr, 10.03.2014

Wie kommst Du auf diesen Punkt P (1/1,25)? Die Tangente geht ja durch den Berührungspunkt und der ist nicht P, sondern?

sanju aktiv_icon

20:36 Uhr, 10.03.2014

ich hatte für

x 1

(wie davr auch) in meine normale

f (x)

funktion eingesetzt und somit den

y

wert rausbekommen...
muss ich für den "berührpunkt" die normalen gleichungen (mit

a = \frac{1}{4})

gleichsetzen und dann mit der pq formel berechnen...dann bekomme ich aber 2 werte raus:

1,87

und

0,13 \frac{:}{}

Gwunderi aktiv_icon

20:43 Uhr, 10.03.2014

Nee, der Berührpunkt ist dort, wo sich f(x) und die Winkelhalbierende berühren (= dieselbe Steigung haben), und den hat Femat ja schon ausgerechnet:

B (\frac{1}{2} / \frac{1}{2})

(siehe oben).

sanju aktiv_icon

20:53 Uhr, 10.03.2014

wie hat er diesen punkt denn ausgerechnet?

Gwunderi aktiv_icon

21:09 Uhr, 10.03.2014

Den hat Femat ja 20.05 Uhr schön vorgerechnet. Nochmals in leicht abgewandelter Form:

Die Winkelhalbierende g(x) = x hat die Steigung m = 1.

Es gibt genau einen Berührungspunkt dort wo f(x) auch die Steigung = 1 hat.
Die Steigung entspricht ja der 1. Ableitung, und die ist

f' (x) = 2 x

.

Also gilt

2 x = 1

x = \frac{1}{2}

g (x) = x

eingesetzt kommt man so auch auf

y = \frac{1}{2}

sanju aktiv_icon

21:13 Uhr, 11.03.2014

Dankeeeee, hat mir super weitergeholfen!!&hearts;

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