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Ableitung / Kettenregel / Verschachtelung

Schüler Gymnasium,

Tags: Ableitung, Kettenregel, verschachtelt, verschachtelung

Squamato aktiv_icon

12:56 Uhr, 11.05.2015

Hallo, ich habe eine spezielle Aufgabe zur Kettenregel, bei der ich auf ein falsches Ergebnis gekommen bin. Eine Korrektur wäre hilfreich, das Ergebnis kenne ich (siehe unten). Ziel ist, dass ich meinen Fehler erkenne und ihn bei einer Aufgabe gleichen Types nicht mehr mache

(z . B

. Kursarbeit).

Kettenregel:

f (x) = u (v (x))

f' (x) = u' (v (x)) \cdot v' (x)

- \to u =

äußere Ableitung,

v =

innere Ableitung
(nur zur Verdeutlichung der von mir benutzen Variablen)

Aufgabe:

\sqrt{{(1 - x)}^{3} + 1}

Lösungsweg:

u = \sqrt{v^{3} + 1}

= {(v^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}

****Einschub****
Neue Funktion:

f (x) = {(x^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}

u = v^{\frac{1}{2}}

u' = \frac{1}{2} v^{- (\frac{1}{2})}

v = x^{3} + 1

v' = 3 x^{2}

\to f' (x) = \frac{1}{2} {(x^{3} + 1)}^{- (\frac{1}{2})} \cdot 3 {(1 - x)}^{2}

****Ende Einschub****

u' = \frac{1}{2} {(v^{3} + 1)}^{- (\frac{1}{2})} \cdot 3 v^{2}

v = 1 - x

v' = - 1

\to f' (x) = \frac{1}{2} {({(1 - x)}^{3} + 1)}^{- (\frac{1}{2})} \cdot 3 {(1 - x)}^{2}

= \frac{1}{(\frac{1}{2}) \cdot \sqrt{{(1 - x)}^{3} + 1}} \cdot 3 {(1 - x)}^{2}

= \frac{3 {(1 - x)}^{2}}{\frac{1}{2} \cdot \sqrt{{(1 - x)}^{3} + 1}}

Das ist mein Ergebnis.

Das richtige Ergebnis (laut Lösungsbuch) wäre jedoch:

f' (x) = \frac{- 3 {(1 - x)}^{2}}{2 \sqrt{{[1 - x]}^{3} + 1}}

Kurz um den Einschub zu erklären:
Um das ganze anschaulicher zu gestalten, habe ich äußere und innere Funktion nochmal getrennt aufgeschrieben

(u

und

v)

und einzeln abgeleitet, bevor ich das Ganze dann in

f' (x)

zusammengefasst habe. Der Einschub behandelt

u

(der ersten Funktion), da allein der Teil in

u

ebenfalls eine Verkettung ist, und ich deshalb die Kettenregel auf

u

angewandt habe.
(Vielleicht wäre es geschickter,

u

und

v

im Einschub anders zu nennen, aber dann wären die oben genannten Variablennamen nicht mehr zutreffend... Ich hoffe ihr erkennt einfach wie es gemeint ist :-) )
Das Problem eilt nicht, bis zur nächsten Kursarbeit hab ich noch beinahe einen Monat, und ob genau dieser Fall dort auftritt, ist fraglich...
Aber aus Interesse würde ich trotzdem gerne wissen, wie ich eine solche Funktion ableiten würde.

Danke im Voraus,

Luis

Da ich mit dem generierten Text unten nicht übereinstimme, er aber noch am ehesten passt, schreibe ich explizit:
Ich bräuchte eine Korrektur meines Lösungsweges / eines Auszuges davon, jediglich wenn dieser komplett falsch sein sollte, einen komplett neuen Ansatz.
Die Korrektur kann in Worten erfolgen, oder in Form der korrigierten Gleichungen / Ableitungen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Ableitungsregeln für Polynomfunktionen
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Kettenregel

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Roman-22

13:06 Uhr, 11.05.2015

>

→f′(x)=12((1−x)3+1)−(12)⋅3(1−x)2
Hier ist der erste Fehler passiert, denn die innerste Funktion ist

1 - x

und du musst auch noch mit deren Ableitung multiplizieren - die ist

- 1

. Damit erhältst du as auf die richtige Lösung fehlende Minuszeichen.

>

=1(12)⋅(1−x)3+1⋅3(1−x)2
Hier ist der zweite Fehler passiert. Der Exponent

(- \frac{1}{2})

gilt nicht für den Faktor

\frac{1}{2},

der ganz vorne steht. Du darfst daher

\frac{1}{2}

nicht in den Nenner stellen.

Gruß

R

Atlantik aktiv_icon

13:07 Uhr, 11.05.2015

Ich würde es so lösen, weil ich mich mit Einschüben nicht so auskenne:

[\sqrt{{(1 - x)}^{3} + 1}]

= \frac{3 \cdot {(1 - x)}^{2} \cdot (- 1)}{2 \cdot \sqrt{{(1 - x)}^{3} + 1}} = \frac{(- 3) \cdot {(1 - x)}^{2}}{2 \cdot \sqrt{{(1 - x)}^{3} + 1}}

mfG

Atlantik

Squamato aktiv_icon

13:15 Uhr, 11.05.2015

@Roman:

Den ersten Fehler habe ich nun verstanden.
Auch den 2. Aspekt kann ich nachvollziehen, aber wenn ich

\frac{1}{2}

als Multiplikator davorstehen lasse, würde am Ende doch da stehen

\frac{1}{2} \cdot

[

den riesen Bruch],
und folglich könnte ich nach Verrechnung mit der 3 dann im Zähle

1,5 {(1 - x)}^{2}

schreiben. Dann wäre ich aber von der Lösung aus dem Buch immer noch weg.

Squamato aktiv_icon

13:18 Uhr, 11.05.2015

Ich habe es gerade verstanden... Zähler

\cdot

Zähler, Nenner mal Nenner.... sprich oben mal

1 (- 3

bleibt also) und unten mal 2 (da kommt die 2 her).

Vielen Dank für die rekordschnelle Antwort, hat mir sehr geholfen.
Die Lösung von Atlantik schaue ich mir auch gleich an, danke für den alternativen Weg.

Grüße,

Luis

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