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Ableitung Kurvenschar + Logarithmus

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Ableitung, Kurvenschar, Logarithmus

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Tantrum

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21:07 Uhr, 12.01.2012

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Hey, habe folgende Kurvenschar:

f_{a} (x) = a^{2} \cdot x^{2} - a \cdot ln x (a > 0 x > 0)

Davon muss ich jetzt die ersten beiden Ableitungen bilden, komme da aber nicht weiter.

Hier mein Versuch:

f_{a}' (x) = a^{2} \cdot 2 x + 2 a \cdot x^{2} - \frac{a}{x} + ln x

Laut WolframAlpha kommt das raus:

\frac{a \cdot (2 a \cdot x^{2} - 1)}{x}

Wie kommt man auf diese Ableitung?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
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Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
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Logarithmusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
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Underfaker

Underfaker aktiv_icon

21:11 Uhr, 12.01.2012

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f_{a} (x) = a^{2} x^{2} - a ln (x)

da a ein Parameter ist kannst du diesen wie eine Zahl betrachten und die Funktion entsprechend "Stück für Stück" ableiten

(a^{2} x^{2})' = 2 a^{2} x

(a ln (x))' = a \cdot \frac{1}{x}

Und das zusammenfügen und zusammenfassen bekommst du alleine hin und tatsächlich ist das die Lösung von Wolframalpha

(\in

anderer Form)

Antwort

Nova12

Nova12 aktiv_icon

21:20 Uhr, 12.01.2012

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Ist

a^{2} x^{2}

abgeleitet nicht

2 a^{2} x

?

Müsste doch beim Ableiten

x^{2 - 1}

sein oder?

Tantrum

Tantrum aktiv_icon

21:21 Uhr, 12.01.2012

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@Underfaker
Danke für deine schnelle Antwort. Ach das mit dem a hatte ich vergessen. Nur bei dem letzteren Teil habe ich noch eine Frage.

Und zwar

a \cdot ln x

Produktregel:

u (x) = a

u' (x) =

fällt weg

v (x) = ln x

v' x (x) = \frac{1}{x}

Dann überkreuzt multiplizieren:

\frac{a}{x} + ln x

Wieso fällt denn bei der Ableitung des zweiten Teil das

ln x

weg?

Antwort

Underfaker

Underfaker aktiv_icon

21:25 Uhr, 12.01.2012

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das liegt daran, dass

a ln (x)

genauso abzuleiten ist wie 3ln(x), das sind Konstanten, die musst du nicht mit der Produktregel berechnen.

du kannst auch erst

ln (x)

ableiten und dann mit a multiplizieren, das ist als wenn du

2 x^{2}

mit der Produktregel ableiten wolltest weil da ja

3 \cdot x^{2}

steht.

ps: Habs oben verbessert, danke Nova

Im Übrigen ist a abgeleitet

= 0

womit ein Teil der Ableitung

0 \cdot ln (x)

wäre und womit das auch wegfällt...

Frage beantwortet

Tantrum

Tantrum aktiv_icon

21:27 Uhr, 12.01.2012

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Ach so. Vielen Dank an euch beiden.

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Underfaker

Underfaker aktiv_icon

21:30 Uhr, 12.01.2012

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Kein Problem

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