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Ableitung Normalverteilung / Gauß'sche Glockenkurv

Schüler Allgemeinbildende höhere Schulen, 12. Klassenstufe

Tags: Ableitung, Gauss, Normalverteilung

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anonymous

anonymous

10:31 Uhr, 24.06.2008

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Hallo,

ich bräuchte dringend Hilfe.

Es geht um die Gauß'sche Glockenkurve der Normalverteilung.

Die durch diese Funktion definiert ist.

$user-pic$

Laut Wikipedia hat sie folgende Ableitung:

$user-pic$

Aber ich raffs einfach nicht wie ich da hinkomme. Dachte es is ned so schwer, einfach nur das ableiten was bei e hoch steht. Aber wenn ich die Klammer ausrechne bekomme ich ja

-1/2 * (x² - 2xmy + my²)/sigma²

Abgeleitet habe ich dann:

(2x - 2my + my²)/2sigma²

Wo ist das Problem?! Bin am verzweifeln :( Wäre echt ÜBERAUS dankbar wenn mir jmd schnell helfen kann!!

thx

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Antwort

el holgazán

el holgazán aktiv_icon

10:58 Uhr, 24.06.2008

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Du hast bisher richtig:

f (x) = - \frac{1}{2} \frac{x^{2} - 2 x μ + μ^{2}}{σ^{2}}

Nun achtung beim ableiten: Hier musst du die Summenregel anwenden; also schreiben wir das erst mal aus:

f (x) = - \frac{1}{2 σ^{2}} x^{2} + \frac{1}{2 σ^{2}} 2 x μ - \frac{1}{2 σ^{2}} μ^{2}

Nun ableiten:

f ʹ (x) = - \frac{1}{2 σ^{2}} 2 x + \frac{1}{2 σ^{2}} 2 μ - 0

= \frac{- 2 x + 2 μ}{2 σ^{2}} = \frac{- x + μ}{σ^{2}}

Das ganze lässt sich aber auch schneller durch die Kettenregel ableiten:

f (x) = \frac{1}{σ \sqrt{2 π}} \exp (- \frac{1}{2} {(\frac{x - μ}{σ})}^{2})

= α \cdot \exp (g (x))

mit

g (x) = - \frac{1}{2} {(\frac{x - μ}{σ})}^{2}

g ʹ (x) = - \frac{1}{2} \cdot 2 (\frac{x - μ}{σ}) \cdot \frac{1}{σ}

= \frac{- x + μ}{σ^{2}}

(Achtung auch hier Kettenregel!).

Also:

f ʹ (x) = g ʹ (x) \cdot α \exp (g (x)) = \frac{- x + μ}{σ^{2}} f (x)

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