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Ableitung Problem mit Aufgabe

Universität / Fachhochschule

Tags: Ableitung, GeoGebra, Maximalwert

MathePro1234 aktiv_icon

17:27 Uhr, 29.09.2025

Funktion lautet

P (t) = 380 \cdot e^{- a \cdot t} - 500 \cdot e^{- 0.682 \cdot t} + 120

Habe in Geogebra die Funktion eingegeben und dann die erste Ableitung gesucht.
Das Ergebnis soll laut Lösungen wie folgt sein:

P' (t) = - 89,78 ... \cdot e^{- 0,2362 ... \cdot t} + 341 \cdot e^{- 0,682 \cdot t} = 0

Bei mir kommt aber irgendetwas heraus, aber nicht die richtige Antwort.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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mathadvisor aktiv_icon

18:13 Uhr, 29.09.2025

"=0" kommt bei der Ableitung schonmal nicht raus.
Und wenn

P

vom Parameter

a

abhängt, sollte der Parameter auch in der Ableitung vorkommen. Tut er in dem Fall nicht, also stimmt

P ʹ (t)

nicht.
Wie hast Du denn gerechnet (ohne GeoGebra usw. natürlich, weil das ja länger dauert als von Hand zu rechnen)?

MathePro1234 aktiv_icon

19:22 Uhr, 29.09.2025

Ja, null gesetzt wegen Maximalwert.

Ich weiß nicht, wie ich die Ableitung händisch rechne, wenn in der Potent a und

t

vorhanden sind. Die Lösung habe ich vom Heft abgeschrieben.

a = 0,2362 . .

. habe ich vorher ausgerechnet, das stimmt laut Lösungen.

Wie lautet die richtige Ableitung der Original Funktion?

mathadvisor aktiv_icon

19:27 Uhr, 29.09.2025

Ach, doch kein unbekannter Parameter

a

...
Was ist die Ableitung von

f (x) = e^{2 x}

(Kettenregel)? Geht mit

a

genauso.

MathePro1234 aktiv_icon

20:03 Uhr, 29.09.2025

meine es ist

f' (x) = 2 e^{2} x

Dann ist mir die Ableitung klar. Wenn ich das bei Geogebra eingebe, kommt trotzdem was falsches raus

mathadvisor aktiv_icon

20:13 Uhr, 29.09.2025

Ja genau,

f ʹ (x) = 2 e^{2 x}

. Die Ableitung aus den Lösungen stimmt. Dann ist es wohl ein Eingabe-Problem bei Geogebra. Was gibst Du denn dort ein? Achte auf Klammern.

michaL aktiv_icon

10:29 Uhr, 30.09.2025

Hallo,

> meine es ist

f' (x) = 2 e^{2 x}

>
> Dann ist mir die Ableitung klar. Wenn ich das bei Geogebra eingebe, kommt trotzdem
> was falsches raus

Hm, bei mir nicht. Ich verwende geogebra 5 als Anwendung (nicht im Browser). Dort habe ich das Algebra-Fenster verwendet.

Mfg Michael

pivot aktiv_icon

11:54 Uhr, 30.09.2025

Um das Mitführen der (krummen) Parameterwerte zu vermeiden kann man sie durch Buchstaben ersetzen. Allgemein sieht das dann so aus:

P (t) = b \cdot e^{- a \cdot t} - c \cdot e^{- d \cdot t} + k

Die Ableitung ist demensprechend

P^{ʹ} (t) = - a b \cdot e^{- a \cdot t} + d c \cdot e^{- d \cdot t} = 0

Negativen Term auf die rechte Seite

d c \cdot e^{- d \cdot t} = a b \cdot e^{- a \cdot t} ∣ ln()

ln (d c \cdot e^{- d \cdot t}) = ln (a b \cdot e^{- a \cdot t})

Es gilt

\ln (x y) = \ln (x) + \ln (y)

ln (d c) + \ln (e^{- d \cdot t}) = ln (a b) + ln (e^{- a \cdot t})

ln (d c) - d \cdot t = ln (a b) - a \cdot t

t auf die rechte Seite

ln (d c) - ln (a b) = d \cdot t - a \cdot t

ln (d c) - ln (a b) = (d - a) \cdot t

\frac{ln (d c) - ln (a b)}{d - a} = t^{*}

Mit

a = 2, b = 380, c = 500

und

d = 0, 682

ergibt sich ein Extremwert von

t^{*} = \frac{\ln (0, 682 \cdot 500) - \ln (2 \cdot 380)}{0, 682 - 2} \approx 0, 6081

Anmerkung: Du schreibst was von Maximalwert. Wenn du den suchst, müsstest du den Wert überprüfen, ob es sich um ein (lokales) Minimum oder (lokales) Maximum handelt. Zusätzlich sind natürlich noch die Ränder zu überprüfen.

Gruß
pivot

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