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Ableitung Strecke --> Zeit

Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe

Tags: Ableitung

2a1n0n9a aktiv_icon

22:12 Uhr, 22.02.2012

Hallo!

Ich bräuchte dringend mal Hilfe. Wir haben heute im Unterricht mit Ableitungen angefangen. Es ging um Durchschnittsgeschwindigkeiten und dazu haben wir folgende Gleichung aufgestellt:

s (t) = t^{2}

Dann haben wir die mittleren Geschwindigkeiten in Zeitintervallen berechnet und sind dann zur Momentangeschwindigkeit gekommen.

Zum Schluss waren wir bei:

\frac{t^{2} - t 0^{2}}{t - t 0} = t + t 0

Als Hausaufgaben haben wir auf, dass wir

s (t 0)

s (t) - s (t 0)

\frac{s (t) - s (t 0)}{t - t 0}

s' (t 0)

bestimmen sollen. Ich habe aber leider gar keine Idee, wie das gehen soll.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
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Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
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anonymous

00:11 Uhr, 23.02.2012

Ist es vlt. möglich, dass du falsche Notizen angefertig hast? Dein Zusammenhang s(t)=t² lässt sich physikalisch nicht als Durchschnittsgeschwindigkeit interpretieren.

Zunächst einmal gilt für den zurückgelegten Weg in Abhängigkeit von der Zeit:

s (t) = v \cdot t

Das scheint auch logisch. Wenn du dich mit einer bestimmten Geschwindigkeit,

z . B

. 50km/h, eine Stunde lang fortgewegst, dann hast du eben 50km Strecke zurückgelegt.
Stellt man die obige Gleichung

s (t)

nach

v

um, so erhält man die Durchschnittsgeschwindigkeit:

v (t) = \frac{s (t)}{t}

Weißt du bspw., dass du eine Strecke von 50km zurückgelegt hast und dass du dafür eine Stunde gebraucht hast, so ist offensichtlich, dass du dich mit 50km/h bewegt hast. Dabei ist nicht berücksichtigt, ob du zwischendurch gebremst oder beschleunigt hast, vlt. sogar pausiert hast. Es handelt sich bei diesem Ansatz um das Mittel aus allen Geschwindigkeiten entlang der Strecke

s

in der Zeit

t .

Bei der Momentangeschwindigkeit wählt man das Zeitintervall so klein, dass es gegen

0 s

geht (aber natürlich nicht 0 werden darf). Die Durchschnittsgeschwindigkeit entspricht dann also der Momentangeschwindigkeit.

v (t) = \frac{s_{1} - s_{0}}{t_{1} - t_{0}}

Zähler und Nenner bilden jeweils eine Differenz, die man mit dem griechischen

Δ

kenntlich macht. Im Bereich der Differentialrechnung schreibt man dann:

lim_{t \to 0} (\frac{Δ s}{Δ t})

Dieser Ausdruck sagt nichts anderes, als dass man die Zeitdifferenz gegen 0 laufen lässt

(' lim'

steht für limes, lat. Grenze). So erhält man die momentane Geschwindigkeit und diese entspricht der Ableitung des in einer bestimmten Zeit zurückgelegten Weges. (Nichts anderes sagt doch der Quotient

s (t))

.

Offensichtlich besteht also ein Zusammenhang zwischen Strecke (=zurückgelegter Weg) und Geschwindigkeit. Die Geschwindigkeit ist die zeitliche Änderung der Strecke. Sie gibt mir also an, wie stark die Länge der Strecke zu- oder abnimmt. Habe ich bspw. eine Momentangeschwindigkeit

v = 0,

so ist die Streckenzunahme ebenfalls 0. Steigt meine Geschwindigkeit auf bspw. 50km/h, so lege ich eine bestimmte (definierte, von der Zeit abhängige) Strecke zurück. Sinkt die Geschwindigkeit danach wieder, so lege ich zwar immer noch Strecke zurück (außer bei

v = 0),

aber deutlich weniger viel als zuvor.

Mathematisch gesprochen nennt man diese Änderungsrate Ableitung. Die Geschwindigkeit ist also die Ableitung der Strecke (später lässt sich die Strecke auch als Integral über die Geschwindigkeit interpretieren).

Nachdem du diese Zusammenhänge wirklich gut verstanden hast, kannst du erst die Aufgabe lösen.

Übrigens: Auch die Geschwindigkeit lässt sich ableiten; sie wird ja durch eine physikalische Größe bestimmt, die Beschleunigung. Demnach hängen Weg und Beschleunigung auch miteinander zusammen. Die Beschleunigung ist die 2. Ableitung des Weges.

prodomo aktiv_icon

08:37 Uhr, 23.02.2012

Jetzt nähern wir uns der Momentangeschwindigkeit. Dazu vergleichen wir die Wege zur Zeit

t

und eine winzige Zeitspanne später, die

t + h

sein soll.h ist also die Zeit dazwischen. Dann sind die Wege

s (t + h) = {(t + h)}^{2}

und

s (t) = t^{2},

die Differenz also

t^{2} + 2 \cdot t \cdot h + h^{2} - t^{2} = 2 \cdot t \cdot h + h^{2}

. Die Durchschnittsgeschwindigkeit auf diesem kleinen Stück ist dann

\frac{2 \cdot t \cdot h + h^{2}}{h}

. Wir klammern

h

im Zähler aus und erhalten nach Kürzen dann

2 \cdot t + h

. Wenn jetzt

h

immer kleiner gewählt wird, liegt dieser Term immer näher bei

2 \cdot t

. Man sagt dazu, dass der Grenzwert dieses Terms für immer kleinere

t

den Wert

2 \cdot t

hat, mathematisch formuliert

lim_{h \to 0} 2 \cdot t + h = 2 \cdot t

. Da dies für alle

t

möglich ist, lässt sich auch sagen: zu jeder Zeit

t

ist die momentane Geschwindigkeit

v

durch die Funktion

v (t) = 2 \cdot t

gegeben.Diese Funktion heißt erste Ableitung von

s (t)

nach

t

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