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Ableitung Tschebyscheff Polynome

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Ableitung, Differentiation, Tschebyscheff

mathxxx aktiv_icon

16:19 Uhr, 23.11.2017

Hallo Leute,

ich sitze jetzt schon ewig an dieser Aufgabe und komme immer wieder auf ein anderes Ergebnis aber leider nie auf das richtige.. Also die Aufgabe lautet wie folgt:

Ich soll zeigen, dass folgendes gilt:

T'_{n + 1} (x_{j}) - T'_{n - 1} (x_{j}) = 2 n {(- 1)}^{j}

für

1 \leq j \leq n - 1

und für

j = 0

und

j = n,

den doppelten Wert also

4 n {(- 1)}^{j}

Dabei gilt:

T_{n} (x) = cos (n {cos}^{- 1} (x))

und

x_{j} = cos (j \frac{π}{n})

Mein erster Ansatz war es die obige Gleichung abzuleiten nach

x_{j}

und den "Wert" für

x_{j}

dann einzusetzen, jedoch kommt da leider nichts sinnvolles raus..

Ist das schon ein komplett falscher Weg?
Wäre um Tipps wie es gehen könnte sehr dankbar.

Viele Grüße,
Laura

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17:04 Uhr, 23.11.2017

"Mein erster Ansatz war es die obige Gleichung abzuleiten"

Ist auch richtig.

(\cos (n \arccos (x))^{ʹ} = \frac{n \sin (n \arccos (x))}{\sqrt{1 - x^{2}}}

, mit

x_{j} = \cos (\frac{π j}{n})

hat man dann

\frac{n \sin (π j)}{\sin (π j / n)}

.
Weiter geht mit gewöhnlichen trigonometrischen Formeln.

mathxxx aktiv_icon

17:48 Uhr, 23.11.2017

Also, ich habe für die Ableitungen:

T'_{n + 1} (x) = \frac{(n + 1) sin ((n + 1) {cos}^{- 1} (x))}{\sqrt{1 - x^{2}}}

Mit

x_{j}

eingesetzt ergibt sich:

\frac{(n + 1) (sin (π j) cos (π \frac{j}{n}) + cos (π j) sin (π \frac{j}{n}))}{sin (π \frac{j}{n})}

Analog ergibt sich das gleiche für

T_{n - 1} (x)

nur mit - anstatt

+

überall.

Wenn ich das nun subtrahiere komme ich auf folgenden Term:

T'_{n + 1} (x) - T'_{n - 1} (x) = 2 n cos (π j) + \frac{2 sin (π j) cos (π \frac{j}{n})}{sin (π \frac{j}{n})}

Ich finde meinen Rechenfehler nicht aber so ist die Aussage ja nicht erfüllt, kann man den zweiten Summanden noch umschreiben? Ich glaube mir fehlt da ne Rechenregel..

Danke!

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