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Ableitung der Potenzreihe zu sin(x)

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Folgen und Reihen

Tags: Ableitung, Differentiation, Folgen und Reihen

tom201 aktiv_icon

17:36 Uhr, 15.07.2022

Hallo,

in der Klausurvorbereitung bin ich auf das Ableiten von potenzreihen gestoßen und muss unteranderem die potenzreihe von sin(x) also (-1)^k/((2 k + 1)!) x^(2 k + 1) ableiten. Ich stoße jedoch dauernd auf probleme und bin immer knapp an der lösung, also der potenzreihe von cos(x) vorbei.

Ich würde mich über Tipps zur Lösung / mögliche Lösungswege sehr freuen.

Vielen dank!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
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Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

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N8eule

17:48 Uhr, 15.07.2022

Du lässt durchblicken, hoffen und erahnen, dass du immer "knapp an der "L"ösung vorbei" schrammst.
Um zielgerichtet deine Arbeitsweise, Fehlerchen und Wege kommentieren zu können, meinst du dass es hilfreich sein könnte, dass du uns nicht orakeln, hellsehen und unsere Wege vorbeten lassen solltest, sondern deine Wege aufzeigst, um die Stellen gemeinsam voran zu bringen, die voranzubringen wert und wertvoll wären...........?

tom201 aktiv_icon

18:22 Uhr, 15.07.2022

Hallo N8Eule,

entschuldige die wenigen Details. Ich habe 2 Bilder angehängt mit potenziellen Lösungsversuchen. Im ersten Bild ist zusätzlich noch die Ableitungsregel die wir bekommen haben (Kästchen oben links) und darunter das Ziel, also die Potenzreihe von Cos(x). Einerseits bin ich mir unsicher wie ich das k einsetzen soll (siehe unterschied versuch 1 & 2), andererseits hab ich in beiden fällen trotzdem überschüssige "+1".

Vielen dank für die schnelle Antwort!

tom201 aktiv_icon

18:22 Uhr, 15.07.2022

N8eule

18:31 Uhr, 15.07.2022

Ehrlich gesagt, so richtig schlau werde ich aus deinen Aufschrieben nicht.

Darf ich meine Herleitung zum Gegen-Mit-Denken anbieten:

sin (x) = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{k}}{(2 \cdot k + 1)!} \cdot x^{2 \cdot k + 1}

[sin (x)]' = [\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{k}}{(2 \cdot k + 1)!} \cdot x^{2 \cdot k + 1}]'

= \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{k}}{(2 \cdot k + 1)!} \cdot [x^{2 \cdot k + 1}]'

= \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{k}}{(2 \cdot k + 1)!} \cdot {(2 \cdot k + 1) \cdot x^{2 \cdot k}}

= \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{k}}{(2 \cdot k + 1) \cdot (2 \cdot k)!} \cdot (2 \cdot k + 1) \cdot x^{2 \cdot k}

= . .

.

willst du mal weiter...?

tom201 aktiv_icon

18:37 Uhr, 15.07.2022

Hi, danke für die schnelle Antwort!

ich hab noch eine kurze Rückfrage zu deiner Ableitung, da sich das ein wenig mit den Regeln "beißt" die wir zum Ableiten von Potenzreihen haben.
Ich habe mal einen Satz zu Ableitungsregeln angehängt. Deswegen ist meine Frage zu deiner Herangehensweise, ob da nicht eine Indexverschiebung zu k=1 fehlt?

Liebe Grüße
Tom

N8eule

18:46 Uhr, 15.07.2022

'Index-Verschiebung' ist glaube ich ein zu hoch gestochenes Wort für diesen Zusammenhang.
Ich glaube, es ist lehrreicher, wenn du dir klar machst, dass der erste Summand mit

k = 0

einfach nichtig ist.

f' (x) = \sum_{k = 0}^{\infty} k \cdot a_{k} \cdot x^{k - 1} = \sum_{k = 1}^{\infty} k \cdot a_{k} \cdot x^{k - 1}

weil

\to

\sum_{k = 0}^{\infty} k \cdot a_{k} \cdot x^{k - 1} =

[

erster Summand]

+

Summe aller restlichen Summanden

= [0 \cdot a_{0} \cdot x^{0 - 1}] + \sum_{k = 1}^{\infty} k \cdot a_{k} \cdot x^{k - 1}

= 0 + \sum_{k = 1}^{\infty} k \cdot a_{k} \cdot x^{k - 1}

= \sum_{k = 1}^{\infty} k \cdot a_{k} \cdot x^{k - 1}

tom201 aktiv_icon

19:02 Uhr, 15.07.2022

Hallo nochmal,

Ich hab das ganze jetzt nochmal ausgerechnet und es klappt auch für (cos(x))'=-sin(x), vielen Dank für die Hilfe und vorallem die Geduld! Ich pack das ganze nochmal in den Anhang, falls doch was falsch ist aber ich hoffe nicht :-)

Schönen Tag noch!

michaL aktiv_icon

19:44 Uhr, 15.07.2022

Hallo,

um auf deine Frage einzugehen:
Beim Ableiten hast du den Exponenten nicht um 1 verringert. Ein sehr ärgerlicher Fehler!

Dadurch würde der Exponent korrekt werden (nämlich

2 k

).

Zudem hast du

k

im Koeffizienten und im Exponenten von

- 1

fälschlich zu

k + 1

verändert.
Ich mutmaße, dass dir jemand mitgeteilt hat, dass diese Indexverschiebung hilfreich sein könnte.
Ohne diese abenteuerliche Idee hättest du den Koeffizienten

\frac{(- 1)^{k}}{(2 k)!}

.

Bist du den mathematischen Herausforderungen deines Studienganges gewachsen?

Mfg Michael

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